Anneau
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Revision 2465
8/28/2026, 8:13:21 AM · Sequoia
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Revision 2464
8/28/2026, 8:13:18 AM · Sequoia
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Un anneau est un [[Set|ensemble]] $R$ équipé de deux [[Operation|opérations]], ordinairement appelées addition $+$ et multiplication $\times$, et avec les propriétés suivantes :1
Un anneau est un [[Set|ensemble]] $R$ équipé de deux [[Operation|lois de composition interne]], ordinairement appelées addition $+$ et multiplication $\times$, et avec les propriétés suivantes :2
1) $R$ est un [[Abelian group|groupe abélien]] doté de $+$.2
1) $R$ est un [[Abelian group|groupe abélien]] pour la loi $+$.3
2) la multiplication est associative : pour tout $a,b,c\in R$, $(a\times b)\times c= a\times (b\times c)$.3
2) La multiplication est associative : pour tout $a,b,c\in R$, $(a\times b)\times c= a\times (b\times c)$.4
3) Distributivité : pour tout $a,b,c\in R$,4
3) _Distributivité :_ pour tout $a,b,c\in R$,5
$$a\times (b+c)=a\times b+a\times c \quad \text{et}\quad (a+b)\times c=a\times c+b\times c$$6
4) Identité multiplicative : il existe un élément $1$ tel que, pour tout $a\in R$, $1\times a=a\times 1=a$.6
4) _Element neutre pour_ $\times$: il existe un élément $1\in R$ tel que, pour tout $a\in R$, $1\times a=a\times 1=a$.7
On note ensuite $R$ par $(R,+,\times)$.8
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Dans ce contexte, on note $R$ par $(R,+,\times)$ pour mettre en avant de quelles lois on parle.9
9
##### Remarques10
- Certains auteurs n'incluent pas l'identité multiplicative dans la définition. Cette structure d'anneau sans identité est souvent appelé un rng.11
- Certains auteurs n'incluent pas l'existence du neutre multiplicatif $1$ dans la définition. Cette structure d'anneau sans identité est souvent appelée un rng.Revision 2460
8/28/2026, 7:52:38 AM · Catalpa
Concept translation created
Un anneau est un [[Set|ensemble]] $R$ équipé de deux [[Operation|opérations]], ordinairement appelées addition $+$ et multiplication $\times$, et avec les propriétés suivantes :
1) $R$ est un [[Abelian group|groupe abélien]] doté de $+$.
2) la multiplication est associative : pour tout $a,b,c\in R$, $(a\times b)\times c= a\times (b\times c)$.
3) Distributivité : pour tout $a,b,c\in R$,
$$a\times (b+c)=a\times b+a\times c \quad \text{et}\quad (a+b)\times c=a\times c+b\times c$$
4) Identité multiplicative : il existe un élément $1$ tel que, pour tout $a\in R$, $1\times a=a\times 1=a$.
On note ensuite $R$ par $(R,+,\times)$.
##### Remarques
- Certains auteurs n'incluent pas l'identité multiplicative dans la définition. Cette structure d'anneau sans identité est souvent appelé un rng.