Ivan Shishkin, Birch Grove

Application bijective

Concept history

A revision trail for this concept page.

6 revisions

Back

Revision 2663

8/29/2026, 3:52:11 PM · Catalpa

Updated text

Compare with revision 22844 changed lines
1#### Définition intuitive
2
3Une bijection permet, dans une logique ensembliste, d'affirmer que deux [[Ensemble|ensembles]] possèdent le "même nombre d'éléments".
3Une bijection permet, dans une logique ensembliste, d'affirmer que deux [[Ensemble|ensembles]] possèdent le « même nombre d'éléments ».
4
5#### Définition formelle
6
7Une bijection, ou application bijective, est une [[application|application]] à la fois [[Injective map|injective]] et [[Surjective map|surjective]].
8En particulier, pour deux ensembles $A$ et $B$, l'application $f\colon A\to B$ est bijective si, et seulement si, elle vérifie:
9$$
10\forall y\in B, \exists! x\in A/ y=f(x),
11$$
12où $\exists!x$ signifie qu'il existe un **unique** $x$. Autrement dit, tout élément de l'ensemble d'arrivée $B$ possède un unique [[antécédent|antécédent]] dans l'ensemble de départ $A$.
13Dans ce cas, on dit que $A$ et $B$ sont _équipotents_, ou encore _en bijection_.
14
15#### Exemples
16$\bullet$ Quitte à changer $1$ en $2$ et $3$ en $4$, les ensembles $\{1,3\}$ et $\{2,4\}$ sont en bijection.
17$\bullet$ Si $f\colon A\to B$ est injective, alors la restriction $f\colon A\to f(A)$ où $f(A)=\{f(x), x\in A\}$ est l'image de $A$ par $f$, est une bijection. C'est la manière naturelle de construire une bijection à partir d'une injection.
18$\bullet$ **Plus difficile:** Si $f\colon A\to B$ est surjective, alors la [[propriété universelle|propriété universelle]]issue de la relation d'équivalence sur $A$ : $x\sim y\,\Longleftrightarrow f(x)=f(y)$ permet de définir une [[application quotient|application quotient]] $\tilde{f}\colon A/\!\!\sim \,\,\longrightarrow B$ de manière naturelle à partir de $f$ et qui est bijective.
18$\bullet$ **Plus difficile:** Si $f\colon A\to B$ est surjective, alors la [[propriété universelle|propriété universelle]] issue de la relation d'équivalence sur $A$ : $x\sim y\,\Longleftrightarrow f(x)=f(y)$ permet de définir une [[application quotient|application quotient]] $\tilde{f}\colon A/\!\!\sim \,\,\longrightarrow B$ de manière naturelle à partir de $f$ et qui est bijective.

Revision 2284

8/25/2026, 9:15:26 AM · Sequoia

Updated linked exercises

linked exercisesMes premières bijectionsMes premières bijections, Pas mes premières bijections

Revision 2251

8/24/2026, 11:44:53 AM · Sequoia

Concept marked usable

statusStubUsable

Revision 2245

8/24/2026, 11:39:25 AM · Sequoia

Updated text and linked exercises

linked exercisesNoneMes premières bijections
Compare with revision 217919 changed lines
1Une bijection, ou application bijective, est une [[application|application]] à la fois [[Injective map|injective]] et [[Surjective map|surjective]].
1#### Définition intuitive
2
3Une bijection permet, dans une logique ensembliste, d'affirmer que deux [[Ensemble|ensembles]] possèdent le "même nombre d'éléments".
4
5#### Définition formelle
6
7Une bijection, ou application bijective, est une [[application|application]] à la fois [[Injective map|injective]] et [[Surjective map|surjective]].
8En particulier, pour deux ensembles $A$ et $B$, l'application $f\colon A\to B$ est bijective si, et seulement si, elle vérifie:
9$$
10\forall y\in B, \exists! x\in A/ y=f(x),
11$$
12où $\exists!x$ signifie qu'il existe un **unique** $x$. Autrement dit, tout élément de l'ensemble d'arrivée $B$ possède un unique [[antécédent|antécédent]] dans l'ensemble de départ $A$.
13Dans ce cas, on dit que $A$ et $B$ sont _équipotents_, ou encore _en bijection_.
14
15#### Exemples
16$\bullet$ Quitte à changer $1$ en $2$ et $3$ en $4$, les ensembles $\{1,3\}$ et $\{2,4\}$ sont en bijection.
17$\bullet$ Si $f\colon A\to B$ est injective, alors la restriction $f\colon A\to f(A)$ où $f(A)=\{f(x), x\in A\}$ est l'image de $A$ par $f$, est une bijection. C'est la manière naturelle de construire une bijection à partir d'une injection.
18$\bullet$ **Plus difficile:** Si $f\colon A\to B$ est surjective, alors la [[propriété universelle|propriété universelle]]issue de la relation d'équivalence sur $A$ : $x\sim y\,\Longleftrightarrow f(x)=f(y)$ permet de définir une [[application quotient|application quotient]] $\tilde{f}\colon A/\!\!\sim \,\,\longrightarrow B$ de manière naturelle à partir de $f$ et qui est bijective.

Revision 2179

8/23/2026, 7:52:59 PM · Ancient Tree

Updated text

Compare with revision 17392 changed lines
1Une bijection, ou [[Map|application bijective]], est une application à la fois [[Injective map|injective]] et [[Surjective map|surjective]].
1Une bijection, ou application bijective, est une [[application|application]] à la fois [[Injective map|injective]] et [[Surjective map|surjective]].

Revision 1739

8/20/2026, 9:59:27 AM · Catalpa

Concept created

Une bijection, ou [[Map|application bijective]], est une application à la fois [[Injective map|injective]] et [[Surjective map|surjective]].