Ivan Shishkin, Birch Grove

Application

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Revision 4035

9/6/2026, 6:53:30 PM · Ancient Tree

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Revision 3765

9/4/2026, 6:43:37 AM · quark67

Mise en forme mathématique (LaTeX)

Compare with revision 359110 changed lines
1Soient $E$ et $F$ deux [[ensemble|ensembles]].
2
3### Définition intuitive :
4Une application (ou fonction) de $E$ vers $F$ est un procédé qui à un élément de $E$ lui associe exactement un élément de F.
5
6
7### Définition formelle :
8Soit $f : E \longrightarrow F$ alors f est une application lorsque qu'elle vérifie:
8Soit $f : E \longrightarrow F$ alors $f$ est une application lorsque qu'elle vérifie:
9\[\forall x \in E,\ \exists !\, y \in F \ \text{tel que}\ y = f(x)\]
10
11### Vocabulaire :
12Ainsi, si on a un $x\in E$ et $y\in F$ telle que $y =f(x)$, on dit que:
13- x est un antédent de y par f, il n'est pas unique.
13- $x$ est un antédent de $y$ par $f$, il n'est pas unique.
14- y est l'image de x par f, elle est unique.
14- $y$ est l'image de $x$ par $f$, elle est unique.
15
16### Exemples :
17- On considère l’ensemble $E = \{1,2,3\}$ et $F = \{a,b,c\}$ où $a,b,c$ sont distincts.
18Définissons $f : E \to F$ par $f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c$.
19Alors f est une application puisque chaque élément de $E$ a une unique image dans $F$.
19Alors $f$ est une application puisque chaque élément de $E$ a une unique image dans $F$.
20
21- On considère $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ telle que $f(n)=n+1$.
22Alors $f$ est bien une application.
23Remarquons cependant que 0 n'a pas d'antécédent puisque l'équation $n+1=0$ n'a pas de solution sur $\mathbb{N}$.
24
25
26### Contre-exemple :
27On considère l’ensemble $E = \{1,2,3\}$ et $F = \{a,b,c\}$ où $a,b,c$ sont distincts.
28Définissons $f : E \to F$ par $f(1)=a, f(2)=b, f(2)=c$.
29Alors f n'est pas une application puisque $2$ a deux images.
29Alors $f$ n'est pas une application puisque $2$ a deux images.

Revision 3591

9/2/2026, 2:35:59 PM · Ancient Tree

Concept marked usable

statusStubUsable

Revision 3590

9/2/2026, 2:35:52 PM · Ancient Tree

Updated aliases

aliasesantécédent, Fonction, imageFonction

Revision 3255

8/31/2026, 8:24:39 PM · SalixBabylonica

Updated aliases

aliasesFonctionantécédent, Fonction, image

Revision 3245

8/31/2026, 7:42:02 PM · SalixBabylonica

Updated aliases

aliasesFonction;image;antécédentFonction

Revision 3244

8/31/2026, 7:40:32 PM · SalixBabylonica

Updated aliases

aliasesFonctionFonction;image;antécédent

Revision 3243

8/31/2026, 7:39:51 PM · SalixBabylonica

Concept saved without content changes

No content or metadata changes were recorded.

Revision 3242

8/31/2026, 7:39:20 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 32412 changed lines
1Soient $E$ et $F$ deux [[ensemble|ensembles]].
2
3### Définition intuitive :
4Une application (ou fonction) de $E$ vers $F$ est un procédé qui à un élément de $E$ lui associe exactement un élément de F.
5
6
7### Définition formelle :
8Soit $f : E \longrightarrow F$ alors f est une application lorsque qu'elle vérifie:
9$\forall x \in E,\ \exists !\, y \in F \ \text{tel que}\ y = f(x)$
9\[\forall x \in E,\ \exists !\, y \in F \ \text{tel que}\ y = f(x)\]
10
11### Vocabulaire :
12Ainsi, si on a un $x\in E$ et $y\in F$ telle que $y =f(x)$, on dit que:
13- x est un antédent de y par f, il n'est pas unique.
14- y est l'image de x par f, elle est unique.
15
16### Exemples :
17- On considère l’ensemble $E = \{1,2,3\}$ et $F = \{a,b,c\}$ où $a,b,c$ sont distincts.
18Définissons $f : E \to F$ par $f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c$.
19Alors f est une application puisque chaque élément de $E$ a une unique image dans $F$.
20
21- On considère $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ telle que $f(n)=n+1$.
22Alors $f$ est bien une application.
23Remarquons cependant que 0 n'a pas d'antécédent puisque l'équation $n+1=0$ n'a pas de solution sur $\mathbb{N}$.
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25
26### Contre-exemple :
27On considère l’ensemble $E = \{1,2,3\}$ et $F = \{a,b,c\}$ où $a,b,c$ sont distincts.
28Définissons $f : E \to F$ par $f(1)=a, f(2)=b, f(2)=c$.
29Alors f n'est pas une application puisque $2$ a deux images.

Revision 3241

8/31/2026, 7:38:48 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 31844 changed lines
1Soient $E$ et $F$ deux [[ensemble|ensembles]].
2
3### Définition intuitive :
4Une application (ou fonction) de $E$ vers $F$ est un procédé qui à un élément de $E$ lui associe exactement un élément de F.
5
6
7### Définition formelle :
8Soit $f : E \longrightarrow F$ alors f est une application lorsque qu'elle vérifie:
9$\forall x \in E,\ \exists !\, y \in F \ \text{tel que}\ y = f(x)$
10
11### Vocabulaire :
12Ainsi, si on a un $x\in E$ et $y\in F$ telle que $y =f(x)$, on dit que:
13- x est un antédent de y par f (n'est pas unique)
13- x est un antédent de y par f, il n'est pas unique.
14- y est l'image de x par f (est unique)
14- y est l'image de x par f, elle est unique.
15
16### Exemples :
17- On considère l’ensemble $E = \{1,2,3\}$ et $F = \{a,b,c\}$ où $a,b,c$ sont distincts.
18Définissons $f : E \to F$ par $f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c$.
19Alors f est une application puisque chaque élément de $E$ a une unique image dans $F$.
20
21- On considère $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ telle que $f(n)=n+1$.
22Alors $f$ est bien une application.
23Remarquons cependant que 0 n'a pas d'antécédent puisque l'équation $n+1=0$ n'a pas de solution sur $\mathbb{N}$.
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25
26### Contre-exemple :
27On considère l’ensemble $E = \{1,2,3\}$ et $F = \{a,b,c\}$ où $a,b,c$ sont distincts.
28Définissons $f : E \to F$ par $f(1)=a, f(2)=b, f(2)=c$.
29Alors f n'est pas une application puisque $2$ a deux images.

Revision 3184

8/31/2026, 5:20:41 PM · SalixBabylonica

Updated aliases

aliasesNoneFonction

Revision 2760

8/29/2026, 7:13:15 PM · SalixBabylonica

Updated domain

domainOtherMathematical formalism

Revision 2759

8/29/2026, 7:11:17 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 27402 changed lines
1Soient $E$ et $F$ deux [[ensemble|ensembles]].
2
3### Définition intuitive :
4Une application (ou fonction) de $E$ vers $F$ est un procédé qui à un élément de $E$ lui associe exactement un élément de F.
5
6
7### Définition formelle :
8Soit $f : E \longrightarrow F$ alors f est une application lorsque qu'elle vérifie:
9$\forall x \in E,\ \exists !\, y \in F \ \text{tel que}\ y = f(x)$
10
11### Vocabulaire :
12Ainsi, si on a un $x\in E$ et $y\in F$ telle que $y =f(x)$, on dit que:
13- x est un antédent de y par f (n'est pas unique)
14- y est l'image de x par f (est unique)
15
16### Exemples :
17- On considère l’ensemble $E = \{1,2,3\}$ et $F = \{a,b,c\}$ où $a,b,c$ sont distincts.
18Définissons $f : E \to F$ par $f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c$.
19Alors f est une application puisque chaque élément de $E$ a une unique image dans $F$.
20
21- On considère $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ telle que $f(n)=n+1$.
22Alors $f$ est bien une application.
23Remarquons cependant que 0 n'a pas d'antécédent puisque l'équation $n+1=0$ n'a pas de solution sur $\mathbb{N}$.
24
25
26### Contre-exemple :
27On considère l’ensemble $E = \{1,2,3\}$ et $F = \{a,b,c\}$ où $a,b,c$ sont distincts.
28Définissons $f : E \to F$ par $f(1)=a, f(2)=b, f(2)=c$.
29Alors f n'est pas une application puisque $f(2)$ a 2 images.
29Alors f n'est pas une application puisque $2$ a deux images.

Revision 2740

8/29/2026, 6:22:56 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 273519 changed lines
1Soient $E$ et $F$ deux [[ensemble|ensembles]].
2
3### Définition intuitive:
3### Définition intuitive :
4Une application (ou fonction) de $E$ vers $F$ est un procédé qui à un élément de $E$ lui associe exactement un élément de F.
5
6
7### Définition formelle :
8Soit $f : E \longrightarrow F$ alors f est une application lorsque qu'elle vérifie:
9$\forall x \in E,\ \exists !\, y \in F \ \text{tel que}\ y = f(x)$
10
11### Vocabulaire:
11### Vocabulaire :
12Ainsi, si on a un $x\in E$ et $y\in F$ telle que $y =f(x)$, on dit que:
13- x est un antédent de y par f (n'est pas unique)
14- y est l'image de x par f (est unique)
15
16### Exemples :
17On considère l’ensemble $E = \{1,2,3\}$ et $F = \{a,b,c\}$.
17- On considère l’ensemble $E = \{1,2,3\}$ et $F = \{a,b,c\}$ où $a,b,c$ sont distincts.
18
18Définissons $f : E \to F$ par $f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c$.
19Définissons $f : E \to F$ par $f(1)=a,\qquad f(2)=b,\qquad f(3)=c$.
20Alors f est une application puisque chaque élément de $E$ a une unique image dans $F$.
20
21- On considère $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ telle que $f(n)=n+1$.
22Alors $f$ est bien une application.
23Remarquons cependant que 0 n'a pas d'antécédent puisque l'équation $n+1=0$ n'a pas de solution sur $\mathbb{N}$.
24
25
26### Contre-exemple :
27On considère l’ensemble $E = \{1,2,3\}$ et $F = \{a,b,c\}$ où $a,b,c$ sont distincts.
28Définissons $f : E \to F$ par $f(1)=a, f(2)=b, f(2)=c$.
29Alors f n'est pas une application puisque $f(2)$ a 2 images.

Revision 2735

8/29/2026, 6:08:40 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 27346 changed lines
1Soient $E$ et $F$ deux [[ensemble|ensembles]].
2
3### Définition intuitive:
4Une application (ou fonction) de $E$ vers $F$ est un procédé qui à un élément de $E$ lui associe exactement un élément de F.
5
6
7### Définition formelle :
8Soit $f : E \longrightarrow F$ alors f est une application lorsque qu'elle vérifie:
9$\forall x \in E,\ \exists !\, y \in F \ \text{tel que}\ y = f(x)$
10
11### Vocabulaire:
12Ainsi, si on a un $x\in E$ et $y\in F$ telle que $y =f(x)$, on dit que:
13- x est un antédent de y par f (n'est pas unique)
14- y est l'image de x par f (est unique)
15
16### Exemples :
17On considère l’ensemble $E = \{1,2,3\}$ et $F = \{a,b,c\}$.
18
19Définissons $f : E \to F$ par $f(1)=a,\qquad f(2)=b,\qquad f(3)=c$.
20Alors f est une application puisque chaque élément de $E$ a une unique image dans $F$.

Revision 2734

8/29/2026, 6:04:21 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 27334 changed lines
1Soient $E$ et $F$ deux ensembles.
1Soient $E$ et $F$ deux [[ensemble|ensembles]].
2### Définition intuitive:
3
3### Définition intuitive:
4Une application (ou fonction) de $E$ vers $F$ est un procédé qui à un élément de $E$ lui associe exactement un élément de F.
5
6
7### Définition formelle :
8Soit $f : E \longrightarrow F$ alors f est une application lorsque qu'elle vérifie:
9$\forall x \in E,\ \exists !\, y \in F \ \text{tel que}\ y = f(x)$
10
11### Vocabulaire:
12Ainsi, si on a un $x\in E$ et $y\in F$ telle que $y =f(x)$, on dit que:
13- x est un antédent de y par f (n'est pas unique)
14- y est l'image de x par f (est unique)

Revision 2733

8/29/2026, 6:03:24 PM · SalixBabylonica

Concept created

Soient $E$ et $F$ deux ensembles.  
### Définition intuitive:

Une application (ou fonction) de $E$ vers $F$ est un procédé qui à un élément de $E$ lui associe exactement un élément de F.


### Définition formelle :
Soit  $f : E \longrightarrow F$ alors f est une application lorsque qu'elle vérifie:
$\forall x \in E,\ \exists !\, y \in F \ \text{tel que}\ y = f(x)$

### Vocabulaire:
Ainsi, si on a un $x\in E$ et $y\in F$ telle que $y =f(x)$, on dit que:
- x est un antédent de y par f (n'est pas unique)
- y est l'image de x par f (est unique)