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###### Définition intuitive
Une base est un système de coordonnées : elle permet de repérer chaque vecteur par une liste de scalaires, et de ramener toute question sur l'espace à un calcul sur ces listes. Deux exigences se combattent et doivent s'équilibrer exactement. D'un côté, la famille doit être assez riche pour atteindre tout vecteur, c'est le caractère générateur. De l'autre, elle ne doit rien contenir de superflu : si un vecteur était combinaison des autres, ses coordonnées deviendraient ambiguës, c'est le caractère libre. Une base est précisément le point d'équilibre entre ces deux contraintes, ce qui explique la formulation la plus commode : une famille est une base si tout vecteur s'y décompose de manière **unique**. 


###### Définition formelle
Soient $\mathbb{K}$ un corps et $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Une famille $\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n)$ de vecteurs de $E$ est une *base* de $E$ si elle est à la fois :
* **libre** : $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda_ie_i=0\ \Longrightarrow\ \lambda_1=\cdots=\lambda_n=0$ ;
* **génératrice** : $E=\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_n)$.

**Proposition (caractérisation par l'unicité).** $\mathcal{B}$ est une base de $E$ si et seulement si
$$\forall x\in E,\ \exists!\,(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\mathbb{K}^{n},\qquad x=\sum_{i=1}^{n}\lambda_ie_i .$$
Les scalaires $\lambda_i$ sont alors appelés les *coordonnées* de $x$ dans $\mathcal{B}$.

*Preuve.* L'existence équivaut au caractère générateur. Quant à l'unicité, si $\sum\lambda_ie_i=\sum\mu_ie_i$, alors $\sum(\lambda_i-\mu_i)e_i=0$, et la liberté donne $\lambda_i=\mu_i$ ; réciproquement, l'unicité de la décomposition de $0$ est exactement la liberté. $\square$

**Corollaire.** L'application $x\mapsto(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ est un isomorphisme $E\to\mathbb{K}^{n}$ : tout $\mathbb{K}$-espace admettant une base à $n$ éléments est isomorphe à $\mathbb{K}^{n}$.

###### Remarques

* **Théorème de la base incomplète.** Toute famille libre de $E$ se complète en une base, et de toute famille génératrice on peut extraire une base. C'est l'outil de construction essentiel, et il garantit l'existence d'une base pour tout espace de dimension finie non nul.
* **Trois critères en dimension $n$ connue.** Pour une famille de $n$ vecteurs exactement, les propriétés « libre », « génératrice » et « base » sont **équivalentes**. Vérifier l'une des deux premières suffit donc, ce qui divise le travail par deux, mais ce raccourci est faux si le nombre de vecteurs diffère de $n$.
* **Ordre et répétitions.** Une base est un $n$-uplet, pas un ensemble : $(e_1,e_2)$ et $(e_2,e_1)$ sont deux bases distinctes, et une famille contenant deux fois le même vecteur n'est jamais libre.
* **Changement de base.** Si $\mathcal{B}'$ est une autre base, la matrice de passage $P$ dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de $\mathcal{B}'$ dans $\mathcal{B}$ est inversible, et les coordonnées $X,X'$ d'un même vecteur vérifient $X=PX'$. Pour un endomorphisme, $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(u)=P^{-1}\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)P$ : c'est la relation de similitude.

###### Exemples
1. **Base canonique.** Dans $\mathbb{K}^{n}$, la famille $(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)$ où $\varepsilon_i$ a un $1$ en position $i$ et des $0$ ailleurs. Les coordonnées d'un vecteur y sont ses composantes.
2. **Polynômes.** Dans $\mathbb{K}_n[X]$, la base canonique $(1,X,\dots,X^{n})$ compte $n+1$ éléments. La base de Taylor en $a$, $\bigl(1,X-a,\dots,(X-a)^{n}\bigr)$, est souvent plus commode : les coordonnées d'un polynôme y sont les $P^{(k)}(a)/k!$.
3. **Matrices.** Dans $\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})$, les matrices élémentaires $(E_{i,j})$ forment une base à $pq$ éléments.