Cardinal
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Revision 3196
8/31/2026, 6:14:24 PM · Sequoia
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8/31/2026, 6:13:59 PM · quark67
Ensemble, nom commun, donc en minuscules.
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#### Définition intuitive2
Le cardinal d'un [[Set|Ensemble]] $E$ mesure « combien » il contient d'éléments. Il est souvent noté $\vert E\vert$, ou $\#E$, ou encore $\mathrm{Card}(E)$.2
Le cardinal d'un [[Set|ensemble]] $E$ mesure « combien » il contient d'éléments. Il est souvent noté $\vert E\vert$, ou $\#E$, ou encore $\mathrm{Card}(E)$.3
La bonne façon de penser cette notion n'est pas le comptage, qui suppose déjà les entiers, mais la mise en correspondance biunivoque : deux ensembles ont même cardinal lorsqu'on peut associer à chaque élément de l'un exactement un élément de l'autre, sans reste de part et d'autre.4
Un berger qui associe à chaque brebis un caillou sait ainsi comparer deux troupeaux sans savoir compter. Cette définition par bijection a l'avantage décisif de garder un sens pour les ensembles infinis, où elle réserve des surprises : $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ ont même cardinal bien que le premier soit une partie stricte du second, tandis que $\mathbb{R}$ en a un strictement plus grand. 5
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#### Définition formelle7
8
Le cardinal d'un ensemble $E$ est le plus petit entier $n$ tel qu'il existe une [[Injective map|injection]] de $E$ dans $[\![1,n]\!]$. Si elle n'existe pas, on définit $\vert E\vert:=+\infty$.9
10
#### Exemples11
$\bullet$ L'ensemble $\{1,8,36\}$ a $3$ éléments, ainsi $\vert \{1,8,36\}\vert=3$.12
$\bullet$ L'ensemble $\{(1,2), \text{Anna}, \pi^2, \{1\}\}$ a $4$ éléments, ainsi son cardinal vaut $4$.13
$\bullet$ Il existe une infinité d'entiers, donc $\vert \Z\vert=+\infty$.Revision 3003
8/30/2026, 6:00:53 PM · visitor
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statusUsableReviewed
Revision 3002
8/30/2026, 6:00:40 PM · visitor
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1
#### Définition intuitive2
Le cardinal d'un [[Set|Ensemble]] $E$ est le nombre d'éléments de $E$. Il est souvent noté $\vert E\vert$, ou $\#E$, ou encore $\mathrm{Card}(E)$.2
Le cardinal d'un [[Set|Ensemble]] $E$ mesure « combien » il contient d'éléments. Il est souvent noté $\vert E\vert$, ou $\#E$, ou encore $\mathrm{Card}(E)$.3
La bonne façon de penser cette notion n'est pas le comptage, qui suppose déjà les entiers, mais la mise en correspondance biunivoque : deux ensembles ont même cardinal lorsqu'on peut associer à chaque élément de l'un exactement un élément de l'autre, sans reste de part et d'autre.4
Un berger qui associe à chaque brebis un caillou sait ainsi comparer deux troupeaux sans savoir compter. Cette définition par bijection a l'avantage décisif de garder un sens pour les ensembles infinis, où elle réserve des surprises : $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ ont même cardinal bien que le premier soit une partie stricte du second, tandis que $\mathbb{R}$ en a un strictement plus grand. 3
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#### Définition formelle5
6
Le cardinal d'un ensemble $E$ est le plus petit entier $n$ tel qu'il existe une [[Injective map|injection]] de $E$ dans $[\![1,n]\!]$. Si elle n'existe pas, on définit $\vert E\vert:=+\infty$.7
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#### Exemples9
$\bullet$ L'ensemble $\{1,8,36\}$ a $3$ éléments, ainsi $\vert \{1,8,36\}\vert=3$.10
$\bullet$ L'ensemble $\{(1,2), \text{Anna}, \pi^2, \{1\}\}$ a $4$ éléments, ainsi son cardinal vaut $4$.11
$\bullet$ Il existe une infinité d'entiers, donc $\vert \Z\vert=+\infty$.Revision 2240
8/24/2026, 10:30:15 AM · Sequoia
Updated linked exercises
linked exercisesNoneCardinal = nombre d’éléments ?, Cardinal de
Revision 2238
8/24/2026, 10:28:51 AM · Sequoia
Concept marked usable
statusStubUsable
Revision 2237
8/24/2026, 10:28:48 AM · Sequoia
Concept created
#### Définition intuitive
Le cardinal d'un [[Set|Ensemble]] $E$ est le nombre d'éléments de $E$. Il est souvent noté $\vert E\vert$, ou $\#E$, ou encore $\mathrm{Card}(E)$.
#### Définition formelle
Le cardinal d'un ensemble $E$ est le plus petit entier $n$ tel qu'il existe une [[Injective map|injection]] de $E$ dans $[\![1,n]\!]$. Si elle n'existe pas, on définit $\vert E\vert:=+\infty$.
#### Exemples
$\bullet$ L'ensemble $\{1,8,36\}$ a $3$ éléments, ainsi $\vert \{1,8,36\}\vert=3$.
$\bullet$ L'ensemble $\{(1,2), \text{Anna}, \pi^2, \{1\}\}$ a $4$ éléments, ainsi son cardinal vaut $4$.
$\bullet$ Il existe une infinité d'entiers, donc $\vert \Z\vert=+\infty$.