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###### Définition intuitive
La compacité est ce qui reste de la finitude quand on passe à l'infini. Dans un ensemble fini, aucune suite ne peut fuir : une valeur au moins revient une infinité de fois. Dans un compact, on obtient un substitut de cette propriété, une suite ne peut ni s'échapper vers l'infini, ni s'évaporer en s'approchant d'un point manquant, si bien qu'on peut toujours extraire une sous-suite convergente dans l'ensemble. 

###### Définition formelle
Soit $X$ un espace topologique. Un recouvrement ouvert de $X$ est une famille $(U_i)_{i\in I}$ d'ouverts telle que $X=\bigcup_{i\in I}U_i$.

L'espace $X$ est *compact* s'il est séparé et si de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini :
$$X=\bigcup_{i\in I}U_i\ \Longrightarrow\ \exists J\subseteq I \text{ fini},\ X=\bigcup_{i\in J}U_i .$$
Une partie $K\subseteq X$ est compacte si elle l'est pour la topologie induite, ce qui revient à extraire un sous-recouvrement fini de tout recouvrement de $K$ par des ouverts de $X$.

**Théorème (Bolzano–Weierstrass)**. Dans un espace métrique, $X$ est compact si et seulement si toute suite de $X$ admet une sous-suite convergente dans $X$. C'est la caractérisation séquentielle, de loin la plus employée en pratique.

**Théorème (Borel–Lebesgue)**. Une partie de $\mathbb{R}^{n}$ est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.

###### Exemples
1. Les segments $[a,b]$ de $\mathbb{R}$, les boules fermées et les sphères de $\mathbb{R}^{n}$, tout ensemble fini. Le cercle $S^{1}$ et le tore $S^{1}\times S^{1}$, par stabilité du produit.
2. Groupes classiques. $\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ et $\mathcal{U}_n(\mathbb{C})$ sont compacts, fermés comme lieux d'annulation de $A^{\mathsf T}A-I_n$, bornés car $\|A\|_F=\sqrt n$. En revanche $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ ne l'est pas : il est ouvert, donc non fermé, et non borné.
3. Contre-exemple (non fermé). L'intervalle $]0,1]$ n'est pas compact : le recouvrement par les $]1/n,2[$ n'admet aucun sous-recouvrement fini, et la suite $(1/n)$ n'a aucune valeur d'adhérence dans l'ensemble.
4. Contre-exemple (non borné). $\mathbb{Z}$ est fermé dans $\mathbb{R}$ mais non compact : le recouvrement par les $]n-\frac12,n+\frac12[$ est sans sous-recouvrement fini. Il est en revanche compact pour la topologie discrète… non, il ne l'est pas non plus, une partie infinie discrète n'étant jamais compacte.
5. Contre-exemple (dimension infinie). L'ensemble $\{f\in\mathcal{C}([0,1]):\|f\|_\infty\leqslant 1\}$ est fermé borné mais non compact : la suite $f_n(x)=x^{n}$ n'a aucune sous-suite uniformément convergente, sa limite simple étant discontinue. C'est précisément l'équicontinuité qui fait défaut.