Ivan Shishkin, Birch Grove

Distance

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Revision 4569

9/11/2026, 7:54:35 PM · quark67

Le symbole d'équivalence s'obtient avec la commande `\iff` (soit « si et seulement si », qui produit un symbole plus long que `\Leftrightarrow`, ainsi qu'un espcement plus conséquent avant et après)

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1##### Définition intuitive
2
3Une distance est une façon de mesurer à quel point deux éléments d’un ensemble sont éloignés l’un de l’autre.
4
5Elle doit respecter certaines idées naturelles : deux points distincts sont à une distance strictement positive, la distance ne dépend pas du sens dans lequel on la mesure, et passer par un point intermédiaire ne peut pas raccourcir le trajet.
6
7##### Définition formelle
8
9Une distance sur un [[Set|ensemble]] $X$ est une [[Function|fonction]] $d:X\times X \rightarrow \R_{+}$ telle que, pour tous $x,y,z\in X$:
101. Séparation : $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
101. Séparation : $d(x,y)=0 \iff x=y$
112. Symétrie : $d(x,y)=d(y,x)$
123. Inégalité triangulaire : $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$
13
14##### Remarques
15- La paire $(X,d)$ est appelée [[Metric space|espace métrique]].
16- $d(x,y)$ s'appelle la distance entre $x$ et $y$.

Revision 4558

9/11/2026, 7:16:42 PM · Ancient Tree

Added exercise "Seconde inégalité triangulaire"

linked exercisesThe discrete metric, Distance carréeThe discrete metric, Distance carrée, Seconde inégalité triangulaire

Revision 4554

9/11/2026, 7:12:42 PM · Ancient Tree

Updated text

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1##### Définition intuitive
2
3Une distance est une façon de mesurer à quel point deux éléments d’un ensemble sont éloignés l’un de l’autre.
4
5Elle doit respecter certaines idées naturelles : deux points distincts sont à une distance strictement positive, la distance ne dépend pas du sens dans lequel on la mesure, et passer par un point intermédiaire ne peut pas raccourcir le trajet.
6
7##### Définition formelle
8
9Une distance sur un [[Set|ensemble]] $X$ est une [[Function|fonction]] $d:X\times X \rightarrow \R_{+}$ telle que, pour tous $x,y,z\in X$:
101. Séparation : $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
112. Symétrie : $d(x,y)=d(y,x)$
123. Inégalité triangulaire : $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$
13
14Distance à un ensemble :
15Soit $X$ un ensemble muni de la distance $d$, $A\subset X$ et $x\in X$. La distance de $x$ à l'ensemble $A$ est définie par :
16\[ d(x,A)=\inf_{a\in A} d(x,a) = \inf \{ d(x,y) \, | \, y\in A \}. \]
17
18Distance entre deux ensembles :
19De la même manière, on définit la distance entre deux ensembles $A$ et $B$ par :
20\[ d(A,B)=\inf_{\substack{a\in A\\ b\in B}} d(a,b) = \inf \{ d(x,y) \, | \, (x,y)\in A\times B \}. \]
21
22**Propriété:** Soit $d$ une distance sur $X$ alors $d$ vérifie la seconde inégalité triangulaire :
23\[\forall x,y,z \in X , \, |d(x,z)-d(y,z)| \leqslant d(x,y)\]
24
25##### Remarques
26- La paire $(X,d)$ est appelée [[Metric space|espace métrique]].
27- $d(x,y)$ s'appelle la distance entre $x$ et $y$.

Revision 4452

9/10/2026, 2:03:12 PM · SalixBabylonica

Updated text

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1##### Définition intuitive
2
3Une distance est une façon de mesurer à quel point deux éléments d’un ensemble sont éloignés l’un de l’autre.
4
5Elle doit respecter certaines idées naturelles : deux points distincts sont à une distance strictement positive, la distance ne dépend pas du sens dans lequel on la mesure, et passer par un point intermédiaire ne peut pas raccourcir le trajet.
6
7##### Définition formelle
8
9Une distance sur un [[Set|ensemble]] $X$ est une [[Function|fonction]] $d:X\times X \rightarrow \R_{+}$ telle que, pour tous $x,y,z\in X$:
101. Séparation : $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
112. Symétrie : $d(x,y)=d(y,x)$
123. Inégalité triangulaire : $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$
13
14Distance à un ensemble :
15Soit $X$ un ensemble muni de la distance $d$, $A\subset X$ et $x\in X$. La distance de $x$ à l'ensemble $A$ est définie par :
16\[ d(x,A)=\inf_{a\in A} d(x,a) = \inf \{ d(x,y) \, | \, y\in A \}. \]
17
18Distance entre deux ensembles :
17De la même manière, on définit la distance entre deux ensembles $A$ et $B$ par :
18\[ d(A,B)=\inf_{\substack{a\in A\\ b\in B}} d(a,b) = \inf \{ d(x,y) \, | \, (x,y)\in A\times B \}. \]
19
20**Propriété:** Soit $d$ une distance sur $X$ alors $d$ vérifie la seconde inégalité triangulaire :
21\[\forall x,y,z \in X , \, |d(x,z)-d(y,z)| \leqslant d(x,y)\]
22
23##### Remarques
24- La paire $(X,d)$ est appelée [[Metric space|espace métrique]].
25- $d(x,y)$ s'appelle la distance entre $x$ et $y$.

Revision 4451

9/10/2026, 2:02:28 PM · SalixBabylonica

Updated text

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1##### Définition intuitive
2
3Une distance est une façon de mesurer à quel point deux éléments d’un ensemble sont éloignés l’un de l’autre.
4
5Elle doit respecter certaines idées naturelles : deux points distincts sont à une distance strictement positive, la distance ne dépend pas du sens dans lequel on la mesure, et passer par un point intermédiaire ne peut pas raccourcir le trajet.
6
7##### Définition formelle
8
9Une distance sur un [[Set|ensemble]] $X$ est une [[Function|fonction]] $d:X\times X \rightarrow \R_{+}$ telle que, pour tous $x,y,z\in X$:
101. Séparation : $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
112. Symétrie : $d(x,y)=d(y,x)$
123. Inégalité triangulaire : $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$
13
14Distance à un ensemble :
15Soit $X$ un ensemble muni de la distance $d$, $A\subset X$ et $x\in X$. La distance de $x$ à l'ensemble $A$ est définie par :
16\[ d(x,A)=\inf_{a\in A} d(x,a) = \inf \{ d(x,y) \, | \, y\in A \}. \]
17De la même manière, on définit la distance entre deux ensembles $A$ et $B$ par :
18\[ d(A,B)=\inf_{\substack{a\in A\\ b\in B}} d(a,b) = \inf \{ d(x,y) \, | \, (x,y)\in A\times B \}. \]
19
20**Propriété:** Soit $d$ une distance sur $X$ alors $d$ vérifie la seconde inégalité triangulaire :
21\[\forall x,y,z \in X , \, |d(x,z)-d(y,z)| \leqslant d(x,y)\]
22
14##### Remarques
15- La paire $(X,d)$ est appelée [[Metric space|espace métrique]].
16- $d(x,y)$ s'appelle la distance entre $x$ et $y$.

Revision 4367

9/9/2026, 5:08:43 PM · Ancient Tree

Added exercise "Distance carrée"

linked exercisesThe discrete metricThe discrete metric, Distance carrée

Revision 4365

9/9/2026, 5:03:49 PM · Ancient Tree

Updated text

Compare with revision 43626 changed lines
1##### Définition intuitive
2
3Une distance est une façon de mesurer à quel point deux éléments d’un ensemble sont éloignés l’un de l’autre.
4
5Elle doit respecter certaines idées naturelles : deux points distincts sont à une distance strictement positive, la distance ne dépend pas du sens dans lequel on la mesure, et passer par un point intermédiaire ne peut pas raccourcir le trajet.
6
1##### Définition formelle
2
3Une distance sur un [[Set|ensemble]] $X$ est une [[Function|fonction]] $d:X\times X \rightarrow \R_{+}$ telle que, pour tous $x,y,z\in X$:
41. Séparation : $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
52. Symétrie : $d(x,y)=d(y,x)$
63. Inégalité triangulaire : $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$
7
8##### Remarques
9- La paire $(X,d)$ est appelée [[Metric space|espace métrique]].
10- $d(x,y)$ s'appelle la distance entre $x$ et $y$.

Revision 4362

9/9/2026, 5:01:06 PM · Ancient Tree

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1##### Définition formelle
2
1Une distance sur un [[Set|ensemble]] $X$ est une [[Function|fonction]] $d:X\times X \rightarrow \R_{+}$ telle que, pour tous $x,y,z\in X$:
21. Séparation : $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
32. Symétrie : $d(x,y)=d(y,x)$
43. Inégalité triangulaire : $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$
5
6##### Remarques
7- La paire $(X,d)$ est appelée [[Metric space|espace métrique]].
8- $d(x,y)$ s'appelle la distance entre $x$ et $y$.

Revision 4359

9/9/2026, 4:58:07 PM · quark67

\leqslant (⩽) est plus joli que \leq (≤) et utilisé préférentiellement en France

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1Une distance sur un [[Set|ensemble]] $X$ est une [[Function|fonction]] $d:X\times X \rightarrow \R_{+}$ telle que, pour tous $x,y,z\in X$:
21. Séparation : $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
32. Symétrie : $d(x,y)=d(y,x)$
43. Inégalité triangulaire : $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$
43. Inégalité triangulaire : $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$
5
6##### Remarques
7- La paire $(X,d)$ est appelée [[Metric space|espace métrique]].
8- $d(x,y)$ s'appelle la distance entre $x$ et $y$.

Revision 1780

8/20/2026, 3:11:02 PM · Ancient Tree

Concept created

Une distance sur un [[Set|ensemble]] $X$ est une [[Function|fonction]] $d:X\times X \rightarrow \R_{+}$ telle que, pour tous $x,y,z\in X$: 
1. Séparation : $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
2. Symétrie : $d(x,y)=d(y,x)$
3. Inégalité triangulaire : $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

##### Remarques
- La paire $(X,d)$ est appelée [[Metric space|espace métrique]].
- $d(x,y)$ s'appelle la distance entre $x$ et $y$.