Espace affine

/!\ En chantier

Définition intuitive

Un espace affine est une structure algébrique commode pour faire de la géométrie euclidienne.

Définition formelle

Un espace affine $(\mathcal{E} , E, +, \to)$ est la donnée de

• Un ensemble non-vide $\mathcal{E}$
• Un espace vectoriel $E$
• Une application $+ : \mathcal{E} \times E \to \mathcal{E}$
• Une application $\to \ : \mathcal{E}^{2} \to E$

qui respectent les trois propriétés suivantes :
Pour tous $P,Q,R \in \mathcal{E}$ et $v \in E$,
(i) $P + \overrightarrow{PQ} = Q$
(ii) $\overrightarrow{P(P+v)} = v$
(iii) $\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}$.

Exemples

• L’espace affine usuel $\mathbb{A}^{n} = (\R^{n}, \R^{n}, +, \to)$ avec $+$ défini par l’addition composante par composante du point et du vecteur ; et $\to$ la différence composante par composante du deuxième au premier point.