Espace compact
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Revision 1766
8/20/2026, 11:22:39 AM · Ancient Tree
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##### Intuition2
Un certain nombre de "bonnes propriétés" sont automatiques pour les [[ensemble fini|ensembles finis]]. 3
Par exemple, toute fonction réelle définie sur un ensemble fini admet un maximum et un minimum.4
Certains ensembles infinis, comme l'[[intervalle fermé|intervalle fermé]] $[0,1]$, admettent des bonnes propriétés similaires : toute fonction continue sur $[0,1]$ admet un maximum et un minimum.5
6
Un espace compact est donc un espace qui, sous certains aspects, se comporte comme un ensemble fini, ou du moins, "de taille gérable".7
8
A l'inverse, des espaces trop grands (comme par exemple $\R$), ou ne contenant pas leur frontière (comme l'intervalle ouvert $]0,1[$), n'auront pas ces propriétés.9
10
##### Définition formelle10
##### Définition par les recouvrements11
Un [[Topological space|espace topologique]] $X$ est compact si de tout [[recouvrement|recouvrement]] de $X$ par des ouverts, on peut extraire un [[sous-recouvrement|sous-recouvrement]] fini.Revision 1764
8/20/2026, 11:21:55 AM · Ancient Tree
Updated linked exercises
linked exercisesNoneCompacité des ensembles finis
Revision 1761
8/20/2026, 11:13:58 AM · Ancient Tree
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##### Intuition2
Un certain nombre de "bonnes propriétés" sont automatiques pour les ensembles finis. 2
Un certain nombre de "bonnes propriétés" sont automatiques pour les [[ensemble fini|ensembles finis]]. 3
Par exemple, toute fonction réelle définie sur un ensemble fini admet un maximum et un minimum.4
Certains ensembles infinis, comme l'[[intervalle fermé|intervalle fermé]] $[0,1]$, admettent des bonnes propriétés similaires : toute fonction continue sur $[0,1]$ admet un maximum et un minimum.5
6
Un espace compact est donc un espace qui, sous certains aspects, se comporte comme un ensemble "fini" ou "de taille gérable"6
Un espace compact est donc un espace qui, sous certains aspects, se comporte comme un ensemble fini, ou du moins, "de taille gérable".7
8
A l'inverse, des espaces trop grands (comme par exemple $\R$), ou ne contenant pas leur frontière (comme l'intervalle ouvert $]0,1[$), n'auront pas ces propriétés.9
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##### Définition formelle11
Un [[Topological space|espace topologique]] $X$ est compact si de tout [[recouvrement|recouvrement]] de $X$ par des ouverts, on peut extraire un [[sous-recouvrement|sous-recouvrement]] fini.Revision 1759
8/20/2026, 11:05:58 AM · Ancient Tree
Concept created
##### Intuition Un certain nombre de "bonnes propriétés" sont automatiques pour les ensembles finis. Par exemple, toute fonction réelle définie sur un ensemble fini admet un maximum et un minimum. Certains ensembles infinis, comme l'[[intervalle fermé|intervalle fermé]] $[0,1]$, admettent des bonnes propriétés similaires : toute fonction continue sur $[0,1]$ admet un maximum et un minimum. Un espace compact est donc un espace qui, sous certains aspects, se comporte comme un ensemble "fini" ou "de taille gérable" A l'inverse, des espaces trop grands (comme par exemple $\R$), ou ne contenant pas leur frontière (comme l'intervalle ouvert $]0,1[$), n'auront pas ces propriétés. ##### Définition formelle Un [[Topological space|espace topologique]] $X$ est compact si de tout [[recouvrement|recouvrement]] de $X$ par des ouverts, on peut extraire un [[sous-recouvrement|sous-recouvrement]] fini.