Espace vectoriel
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8/29/2026, 2:54:13 PM · Catalpa
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8/29/2026, 2:53:37 PM · Catalpa
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##### Intuition2
Un espace vectoriel est un ensemble de [[Vecteur|vecteurs]], dont les propriétés essentielles sont que l'on peut les additionner entre eux et les multiplier par des [[Scalaire|scalaires]]. Les vecteurs peuvent être des « flèches », comme on les rencontre habituellement dans les petites classes, mais on s'aperçoit ensuite que d'autres objets peuvent également être considérés comme des vecteurs, comme les matrices, les polynômes, les fonctions, etc.3
4
*L'addition de vecteurs [[(relation de Chasles)|(relation de Chasles)]] et l'addition de fonctions illustrent la même [[structure algébrique|structure algébrique]].*5
6
La définition formelle ci-dessous permet de garantir que ces deux opérations, l'addition et la multiplication par un scalaire, se comportent de manière cohérente avec les règles habituelles de l'algèbre.7
8
9
##### Définition formelle10
Un espace vectoriel sur un [[Field|corps]] $\mathbb{K}$ est un ensemble $E$ muni de deux opérations :11
- Addition vectorielle $+:E\times E \rightarrow E$11
- Addition vectorielle $+:E\times E \rightarrow E$ (composition interne)12
- Multiplication scalaire $\cdot:\mathbb{K}\times E \rightarrow E$12
- Multiplication scalaire $\cdot:\mathbb{K}\times E \rightarrow E$ (composition externe)13
14
telles que les propriétés suivantes soient vérifiées pour tous $u,v,w\in E$ et tous $\lambda,\mu\in K$ :15
1) $E$ est un [[Abelian group|groupe abélien]] pour $+$.16
2) Distributivité par rapport à l'addition vectorielle : $\lambda\cdot(u+v)=\lambda \cdot u+\lambda \cdot v$17
3) Distributivité par rapport à l'addition des scalaires : $(\lambda+\mu)\cdot u=\lambda\cdot u+\mu\cdot u$18
4) Compatibilité avec la multiplication du corps : $\lambda\cdot(\mu\cdot u)=(\lambda \mu)u$19
5) Élément neutre scalaire : $1\cdot u=u$, où $1$ est l'élément neutre multiplicatif de $\mathbb{K}$.Revision 2036
8/22/2026, 3:28:03 PM · Ancient Tree
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##### Intuition2
Un espace vectoriel est un ensemble de [[Vecteur|vecteurs]], dont les propriétés essentielles sont que l'on peut les additionner entre eux et les multiplier par des [[Scalaire|scalaires]]. Les vecteurs peuvent être des « flèches », comme on les rencontre habituellement dans les petites classes, mais on s'aperçoit ensuite que d'autres objets peuvent également être considérés comme des vecteurs, comme les matrices, les polynômes, les fonctions, etc.3
4
*L'addition de vecteurs et l'addition de fonctions illustrent la même [[structure algébrique|structure algébrique]].*4
*L'addition de vecteurs [[(relation de Chasles)|(relation de Chasles)]] et l'addition de fonctions illustrent la même [[structure algébrique|structure algébrique]].*5
6
La définition formelle ci-dessous permet de garantir que ces deux opérations, l'addition et la multiplication par un scalaire, se comportent de manière cohérente avec les règles habituelles de l'algèbre.7
8
9
##### Définition formelle10
Un espace vectoriel sur un [[Field|corps]] $\mathbb{K}$ est un ensemble $E$ muni de deux opérations :11
- Addition vectorielle $+:E\times E \rightarrow E$12
- Multiplication scalaire $\cdot:\mathbb{K}\times E \rightarrow E$13
14
telles que les propriétés suivantes soient vérifiées pour tous $u,v,w\in E$ et tous $\lambda,\mu\in K$ :15
1) $E$ est un [[Abelian group|groupe abélien]] pour $+$.16
2) Distributivité par rapport à l'addition vectorielle : $\lambda\cdot(u+v)=\lambda \cdot u+\lambda \cdot v$17
3) Distributivité par rapport à l'addition des scalaires : $(\lambda+\mu)\cdot u=\lambda\cdot u+\mu\cdot u$18
4) Compatibilité avec la multiplication du corps : $\lambda\cdot(\mu\cdot u)=(\lambda \mu)u$19
5) Élément neutre scalaire : $1\cdot u=u$, où $1$ est l'élément neutre multiplicatif de $\mathbb{K}$.Revision 2035
8/22/2026, 3:27:44 PM · Ancient Tree
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##### Intuition2
Un espace vectoriel est un ensemble de [[Vecteur|vecteurs]], dont les propriétés essentielles sont que l'on peut les additionner entre eux et les multiplier par des [[Scalaire|scalaires]]. Les vecteurs peuvent être des « flèches », comme on les rencontre habituellement dans les petites classes, mais on s'aperçoit ensuite que d'autres objets peuvent également être considérés comme des vecteurs, comme les matrices, les polynômes, les fonctions, etc.3
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*L'addition de vecteurs* ([[relation de Chasles|relation de Chasles]]) *et l'addition de fonctions illustrent la même [[structure algébrique|structure algébrique]].*4
*L'addition de vecteurs et l'addition de fonctions illustrent la même [[structure algébrique|structure algébrique]].*5
6
La définition formelle ci-dessous permet de garantir que ces deux opérations, l'addition et la multiplication par un scalaire, se comportent de manière cohérente avec les règles habituelles de l'algèbre.7
8
9
##### Définition formelle10
Un espace vectoriel sur un [[Field|corps]] $\mathbb{K}$ est un ensemble $E$ muni de deux opérations :11
- Addition vectorielle $+:E\times E \rightarrow E$12
- Multiplication scalaire $\cdot:\mathbb{K}\times E \rightarrow E$13
14
telles que les propriétés suivantes soient vérifiées pour tous $u,v,w\in E$ et tous $\lambda,\mu\in K$ :15
1) $E$ est un [[Abelian group|groupe abélien]] pour $+$.16
2) Distributivité par rapport à l'addition vectorielle : $\lambda\cdot(u+v)=\lambda \cdot u+\lambda \cdot v$17
3) Distributivité par rapport à l'addition des scalaires : $(\lambda+\mu)\cdot u=\lambda\cdot u+\mu\cdot u$18
4) Compatibilité avec la multiplication du corps : $\lambda\cdot(\mu\cdot u)=(\lambda \mu)u$19
5) Élément neutre scalaire : $1\cdot u=u$, où $1$ est l'élément neutre multiplicatif de $\mathbb{K}$.Revision 2034
8/22/2026, 3:27:09 PM · Ancient Tree
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Revision 2022
8/22/2026, 2:41:48 PM · Ancient Tree
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##### Intuition2
Un espace vectoriel est un ensemble de [[Vecteur|vecteurs]], dont les propriétés essentielles sont que l'on peut les additionner entre eux et les multiplier par des [[Scalaire|scalaires]]. Les vecteurs peuvent être des « flèches », comme on les rencontre habituellement dans les petites classes, mais on s'aperçoit ensuite que d'autres objets peuvent également être considérés comme des vecteurs, comme les matrices, les polynômes, les fonctions, etc.3
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*L'addition de vecteurs* ([[relation de Chasles|relation de Chasles]]) *et l'addition de fonctions illustrent la même structure algébrique.*4
*L'addition de vecteurs* ([[relation de Chasles|relation de Chasles]]) *et l'addition de fonctions illustrent la même [[structure algébrique|structure algébrique]].*5
6
La définition formelle ci-dessous permet de garantir que ces deux opérations, l'addition et la multiplication par un scalaire, se comportent de manière cohérente avec les règles habituelles de l'algèbre.7
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##### Définition formelle10
Un espace vectoriel sur un [[Field|corps]] $\mathbb{K}$ est un ensemble $E$ muni de deux opérations :11
- Addition vectorielle $+:E\times E \rightarrow E$12
- Multiplication scalaire $\cdot:\mathbb{K}\times E \rightarrow E$13
14
telles que les propriétés suivantes soient vérifiées pour tous $u,v,w\in E$ et tous $\lambda,\mu\in K$ :15
1) $E$ est un [[Abelian group|groupe abélien]] pour $+$.16
2) Distributivité par rapport à l'addition vectorielle : $\lambda\cdot(u+v)=\lambda \cdot u+\lambda \cdot v$17
3) Distributivité par rapport à l'addition des scalaires : $(\lambda+\mu)\cdot u=\lambda\cdot u+\mu\cdot u$18
4) Compatibilité avec la multiplication du corps : $\lambda\cdot(\mu\cdot u)=(\lambda \mu)u$19
5) Élément neutre scalaire : $1\cdot u=u$, où $1$ est l'élément neutre multiplicatif de $\mathbb{K}$.Revision 2021
8/22/2026, 2:41:16 PM · Ancient Tree
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##### Intuition2
Un espace vectoriel est un ensemble de [[Vecteur|vecteurs]], dont les propriétés essentielles sont que l'on peut les additionner entre eux et les multiplier par des [[Scalaire|scalaires]]. Les vecteurs peuvent être des « flèches », comme on les rencontre habituellement dans les petites classes, mais on s'aperçoit ensuite que d'autres objets peuvent également être considérés comme des vecteurs, comme les matrices, les polynômes, les fonctions, etc.3
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*La relation de Chasles pour les vecteurs et l'addition de fonctions illustrent la même structure algébrique.*4
*L'addition de vecteurs* ([[relation de Chasles|relation de Chasles]]) *et l'addition de fonctions illustrent la même structure algébrique.*5
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La définition formelle ci-dessous permet de garantir que ces deux opérations, l'addition et la multiplication par un scalaire, se comportent de manière cohérente avec les règles habituelles de l'algèbre.7
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##### Définition formelle10
Un espace vectoriel sur un [[Field|corps]] $\mathbb{K}$ est un ensemble $E$ muni de deux opérations :11
- Addition vectorielle $+:E\times E \rightarrow E$12
- Multiplication scalaire $\cdot:\mathbb{K}\times E \rightarrow E$13
14
telles que les propriétés suivantes soient vérifiées pour tous $u,v,w\in E$ et tous $\lambda,\mu\in K$ :15
1) $E$ est un [[Abelian group|groupe abélien]] pour $+$.16
2) Distributivité par rapport à l'addition vectorielle : $\lambda\cdot(u+v)=\lambda \cdot u+\lambda \cdot v$17
3) Distributivité par rapport à l'addition des scalaires : $(\lambda+\mu)\cdot u=\lambda\cdot u+\mu\cdot u$18
4) Compatibilité avec la multiplication du corps : $\lambda\cdot(\mu\cdot u)=(\lambda \mu)u$19
5) Élément neutre scalaire : $1\cdot u=u$, où $1$ est l'élément neutre multiplicatif de $\mathbb{K}$.Revision 2020
8/22/2026, 2:40:03 PM · Ancient Tree
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##### Intuition2
Un espace vectoriel est un ensemble de [[Vecteur|vecteurs]], dont les propriétés essentielles sont que l'on peut les additionner entre eux et les multiplier par des [[Scalaire|scalaires]]. Les vecteurs peuvent être des « flèches », comme on les rencontre habituellement dans les petites classes, mais on s'aperçoit ensuite que d'autres objets peuvent également être considérés comme des vecteurs, comme les matrices, les polynômes, les fonctions, etc.3
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*La relation de Chasles pour les vecteurs et l'addition de fonctions illustrent la même structure algébrique.*5
6
La définition formelle ci-dessous permet de garantir que ces deux opérations, l'addition et la multiplication par un scalaire, se comportent de manière cohérente avec les règles habituelles de l'algèbre.7
8
9
##### Définition formelle10
Un espace vectoriel sur un [[Field|corps]] $\mathbb{K}$ est un ensemble $E$ muni de deux opérations :11
- Addition vectorielle $+:E\times E \rightarrow E$12
- Multiplication scalaire $\cdot:\mathbb{K}\times E \rightarrow E$13
14
telles que les propriétés suivantes soient vérifiées pour tous $u,v,w\in E$ et tous $\lambda,\mu\in K$ :15
1) $E$ est un [[Abelian group|groupe abélien]] pour $+$.16
2) Distributivité par rapport à l'addition vectorielle : $\lambda\cdot(u+v)=\lambda \cdot u+\lambda \cdot v$17
3) Distributivité par rapport à l'addition des scalaires : $(\lambda+\mu)\cdot u=\lambda\cdot u+\mu\cdot u$18
4) Compatibilité avec la multiplication du corps : $\lambda\cdot(\mu\cdot u)=(\lambda \mu)u$19
5) Élément neutre scalaire : $1\cdot u=u$, où $1$ est l'élément neutre multiplicatif de $\mathbb{K}$.Revision 2018
8/22/2026, 2:38:40 PM · Ancient Tree
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domainGeneral algebraLinear algebra
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##### Intuition2
Un espace vectoriel est un ensemble de [[Vecteur|vecteurs]], dont les propriétés essentielles sont que l'on peut les additionner entre eux et les multiplier par des [[Scalaire|scalaires]]. Les vecteurs peuvent être des « flèches », comme on les rencontre habituellement dans les petites classes, mais on s'aperçoit ensuite que d'autres objets peuvent également être considérés comme des vecteurs, comme les matrices, les polynômes, les fonctions, etc.3
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*La relation de Chasles pour les vecteurs et l'addition de fonctions illustrent la même structure algébrique.*3
4
La définition formelle ci-dessous permet de garantir que ces deux opérations, l'addition et la multiplication par un scalaire, se comportent de manière cohérente avec les règles habituelles de l'algèbre.5
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##### Définition formelle8
Un espace vectoriel sur un [[Field|corps]] $\mathbb{K}$ est un ensemble $E$ muni de deux opérations :9
- Addition vectorielle $+:E\times E \rightarrow E$10
- Multiplication scalaire $\cdot:\mathbb{K}\times E \rightarrow E$11
12
telles que les propriétés suivantes soient vérifiées pour tous $u,v,w\in E$ et tous $\lambda,\mu\in K$ :13
1) $E$ est un [[Abelian group|groupe abélien]] pour $+$.14
2) Distributivité par rapport à l'addition vectorielle : $\lambda\cdot(u+v)=\lambda \cdot u+\lambda \cdot v$15
3) Distributivité par rapport à l'addition des scalaires : $(\lambda+\mu)\cdot u=\lambda\cdot u+\mu\cdot u$16
4) Compatibilité avec la multiplication du corps : $\lambda\cdot(\mu\cdot u)=(\lambda \mu)u$17
5) Élément neutre scalaire : $1\cdot u=u$, où $1$ est l'élément neutre multiplicatif de $\mathbb{K}$.Revision 2017
8/22/2026, 1:45:45 PM · Ancient Tree
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##### Intuition2
Un espace vectoriel est un ensemble contenant des [[Vecteur|vecteurs]], dont les propriétés essentielles sont que l'on peut les additionner entre eux et les multiplier par des [[Scalaire|scalaires]]. Les vecteurs peuvent être des « flèches », comme on les rencontre habituellement dans les petites classes, mais on s'aperçoit ensuite que d'autres objets peuvent également être considérés comme des vecteurs, comme les matrices, les polynômes, les fonctions, etc.2
Un espace vectoriel est un ensemble de [[Vecteur|vecteurs]], dont les propriétés essentielles sont que l'on peut les additionner entre eux et les multiplier par des [[Scalaire|scalaires]]. Les vecteurs peuvent être des « flèches », comme on les rencontre habituellement dans les petites classes, mais on s'aperçoit ensuite que d'autres objets peuvent également être considérés comme des vecteurs, comme les matrices, les polynômes, les fonctions, etc.3
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La définition formelle ci-dessous permet de garantir que ces deux opérations, l'addition et la multiplication par un scalaire, se comportent de manière cohérente avec les règles habituelles de l'algèbre.5
6
7
##### Définition formelle8
Un espace vectoriel sur un [[Field|corps]] $\mathbb{K}$ est un ensemble $E$ muni de deux opérations :9
- Addition vectorielle $+:E\times E \rightarrow E$10
- Multiplication scalaire $\cdot:\mathbb{K}\times E \rightarrow E$11
12
telles que les propriétés suivantes soient vérifiées pour tous $u,v,w\in E$ et tous $\lambda,\mu\in K$ :13
1) $E$ est un [[Abelian group|groupe abélien]] pour $+$.14
2) Distributivité par rapport à l'addition vectorielle : $\lambda\cdot(u+v)=\lambda \cdot u+\lambda \cdot v$15
3) Distributivité par rapport à l'addition des scalaires : $(\lambda+\mu)\cdot u=\lambda\cdot u+\mu\cdot u$16
4) Compatibilité avec la multiplication du corps : $\lambda\cdot(\mu\cdot u)=(\lambda \mu)u$17
5) Élément neutre scalaire : $1\cdot u=u$, où $1$ est l'élément neutre multiplicatif de $\mathbb{K}$.Revision 2016
8/22/2026, 1:45:30 PM · Ancient Tree
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Revision 2013
8/22/2026, 1:42:17 PM · Ancient Tree
Concept created
##### Intuition
Un espace vectoriel est un ensemble contenant des [[Vecteur|vecteurs]], dont les propriétés essentielles sont que l'on peut les additionner entre eux et les multiplier par des [[Scalaire|scalaires]]. Les vecteurs peuvent être des « flèches », comme on les rencontre habituellement dans les petites classes, mais on s'aperçoit ensuite que d'autres objets peuvent également être considérés comme des vecteurs, comme les matrices, les polynômes, les fonctions, etc.
La définition formelle ci-dessous permet de garantir que ces deux opérations, l'addition et la multiplication par un scalaire, se comportent de manière cohérente avec les règles habituelles de l'algèbre.
##### Définition formelle
Un espace vectoriel sur un [[Field|corps]] $\mathbb{K}$ est un ensemble $E$ muni de deux opérations :
- Addition vectorielle $+:E\times E \rightarrow E$
- Multiplication scalaire $\cdot:\mathbb{K}\times E \rightarrow E$
telles que les propriétés suivantes soient vérifiées pour tous $u,v,w\in E$ et tous $\lambda,\mu\in K$ :
1) $E$ est un [[Abelian group|groupe abélien]] pour $+$.
2) Distributivité par rapport à l'addition vectorielle : $\lambda\cdot(u+v)=\lambda \cdot u+\lambda \cdot v$
3) Distributivité par rapport à l'addition des scalaires : $(\lambda+\mu)\cdot u=\lambda\cdot u+\mu\cdot u$
4) Compatibilité avec la multiplication du corps : $\lambda\cdot(\mu\cdot u)=(\lambda \mu)u$
5) Élément neutre scalaire : $1\cdot u=u$, où $1$ est l'élément neutre multiplicatif de $\mathbb{K}$.