Extension de corps différentiel

Définition intuitive

On procède de la même manière que dans la théorie des corps « classiques ». On se donne un certain corps différentiel $\mathbb{K}$ dont on note la dérivation $D_{\mathbb{K}}$ et on regarde les corps $\mathbb{K}\subset\mathbb{L}$ munis d’une dérivation qui prolonge celle de $\mathbb{K}$ à $\mathbb{L}$.

Définition formelle

On dit que $\mathbb{L}$ est une extension du corps différentiel $\mathbb{K}$ si :

• $\mathbb{K}\subset \mathbb{L}$
• $D_{\mathbb{L}}$ restreinte à $\mathbb{K}$ coincide avec $D_{\mathbb{K}}$.

Exemples

• On a l’exemple trivial : $\mathbb{R}(X)\subset \mathbb{C}(X)$ est une extension différentielle du corps différentiel $\mathbb{R}(X).$
• On numérote les éléments de $\mathbb{Q}$ sous la forme d’une suite $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$, on peut donc considérer la suite d’extensions différentielles de $\mathbb{R}(X)$ :
  $$\mathbb{R}(X)\subset \mathbb{R}(X,e^{a_{0}X})\subset \cdots\subset \mathbb{R}(X,e^{a_{0}X},\cdots,e^{a_{n}X})\subset \cdots$$On a alors l’extension différentielle de $\mathbb{R}(X)$ suivante :
  $$\bigcup_{n=0}^{+\infty}\mathbb{R}(X,e^{a_{0}X},\cdots,e^{a_{n}X})$$Cette solution contient d’ailleurs toutes les solutions aux équations $f'-af=0$ pour $a\in\mathbb{Q}$.