Idéal

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Revision 3923

9/5/2026, 4:24:01 PM · SalixBabylonica

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1##### Définition intuitive

Un idéal est à un [[anneau|anneau]] ce qu'un [[Sous-groupe normal|sous-groupe distingué]] est à un groupe : la partie par laquelle on peut quotienter. L'idée de départ est celle de « multiples ». Dans $\mathbb{Z}$, l'ensemble $n\mathbb{Z}$ est stable par addition, et surtout absorbant : multiplier un multiple de $n$ par n'importe quel entier redonne un multiple de $n$. Cette propriété d'absorption est exactement ce qui permet de définir une structure d'anneau sur le quotient, et donc de « travailler modulo » $n$ dans $\mathbb{Z}$, modulo un polynôme dans $K[X]$.

4##### Définition formelle

5Soit $A$ un anneau (unitaire, non nécessairement commutatif). Une partie $I\subseteq A$ est un *idéal à gauche* si

5Soit $A$ un anneau (unitaire, non nécessairement commutatif). Une partie $I\subseteq A$ est :

6$$I \text{ est un sous-groupe additif de } A,\qquad \forall a\in A,\ \forall x\in I,\quad ax\in I,$$

6- un *idéal à gauche* si :

un *idéal à droite* si la condition d'absorption s'écrit $xa\in I$, et un *idéal bilatère* si les deux conditions sont satisfaites simultanément :

7$$I \text{ est un sous-groupe additif de } A, \text{et} \quad \forall a\in A,\ \forall x\in I,\quad ax\in I,$$

8$$\forall a,b\in A,\ \forall x\in I,\quad axb\in I .$$

8- un *idéal à droite* si :

9$$I \text{ est un sous-groupe additif de } A, \text{et} \quad \forall a\in A,\ \forall x\in I,\quad xa\in I,$$

10- un *idéal bilatère* si :

11$$I \text{ est un sous-groupe additif de } A, \text{et} \quad \forall a,b\in A,\ \forall x\in I,\quad axb\in I .$$

**Cas commutatif.** Si $A$ est commutatif, les trois notions coïncident et l'on dit simplement *idéal* : $I$ est un sous-groupe additif vérifiant $AI\subseteq I$.

**Propriété fondamentale.** Si $I$ est un idéal bilatère de $A$, le groupe quotient $A/I$ hérite d'une structure d'anneau par $\overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{ab}$, qui est bien définie précisément grâce à l'absorption des deux côtés. Réciproquement, les idéaux bilatères de $A$ sont exactement les noyaux de morphismes d'anneaux issus de $A$.

14##### Remarques

* **Ce n'est pas un sous-anneau.** Un idéal contient $1$ si et seulement s'il est $A$ tout entier, puisque $1\in I$ entraîne $a=a\cdot 1\in I$ pour tout $a$. Un idéal propre ne contient donc aucun élément inversible. En particulier, un anneau est un corps si et seulement si ses seuls idéaux sont $\{0\}$ et lui-même.

* **Contre-exemple à une confusion fréquente.** Un idéal n'est pas la même chose qu'un sous-anneau : $\mathbb{Z}$ est un sous-anneau de $\mathbb{Q}$ mais n'en est pas un idéal (car $\frac12\cdot 1\notin\mathbb{Z}$), tandis que $2\mathbb{Z}$ est un idéal de $\mathbb{Z}$ mais pas un sous-anneau unitaire.

* **Opérations.** L'intersection d'idéaux est un idéal ; la réunion ne l'est en général pas, et l'on utilise à la place la somme $I+J=\{x+y\}$. On dispose aussi du produit $IJ=\bigl\{\sum_k x_ky_k\bigr\}$, avec $IJ\subseteq I\cap J$, l'inclusion pouvant être stricte : dans $\mathbb{Z}$, $(2)(2)=(4)$ alors que $(2)\cap(2)=(2)$.

* **Idéaux engendrés.** Dans un anneau commutatif, $(a_1,\dots,a_r)=\{\sum a_ix_i : x_i\in A\}$. Un idéal engendré par un seul élément est dit *principal* ; un anneau intègre dont tous les idéaux sont principaux est un *anneau principal*.

22##### Exemples

1. Dans $\mathbb{Z}$, les idéaux sont exactement les $n\mathbb{Z}$ pour $n\geqslant 0$. L'idéal $n\mathbb{Z}$ est premier si et seulement si $n=0$ ou $n$ est premier, et maximal si et seulement si $n$ est premier. Le quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un corps exactement dans ce dernier cas.

2. Dans $K[X]$, les idéaux sont les $(P)$ ; l'idéal $(P)$ est maximal si et seulement si $P$ est irréductible, et $K[X]/(P)$ est alors un corps.

3. Dans $K[X,Y]$, l'idéal $(X,Y)$ n'est pas principal : c'est souvent le premier exemple d'anneau factoriel non principal qu'on rencontre.

Revision 2958

8/30/2026, 4:43:47 PM · visitor

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Un idéal d'un [[Commutative ring|anneau commutatif]] $(R,+,\times)$ est un sous-groupe abélien de $(R,+,\times)$ avec la condition de stabilité suivante : pour tout $r\in R$ et tout $a\in A$,$\;$$ra\in I$.

1##### Définition intuitive

Un idéal est à un [[anneau|anneau]] ce qu'un [[Sous-groupe normal|sous-groupe distingué]] est à un groupe : la partie par laquelle on peut quotienter. L'idée de départ est celle de « multiples ». Dans $\mathbb{Z}$, l'ensemble $n\mathbb{Z}$ est stable par addition, et surtout absorbant : multiplier un multiple de $n$ par n'importe quel entier redonne un multiple de $n$. Cette propriété d'absorption est exactement ce qui permet de définir une structure d'anneau sur le quotient, et donc de « travailler modulo » $n$ dans $\mathbb{Z}$, modulo un polynôme dans $K[X]$.

3##### Examples

4##### Définition formelle

5Soit $A$ un anneau (unitaire, non nécessairement commutatif). Une partie $I\subseteq A$ est un *idéal à gauche* si

6$$I \text{ est un sous-groupe additif de } A,\qquad \forall a\in A,\ \forall x\in I,\quad ax\in I,$$

un *idéal à droite* si la condition d'absorption s'écrit $xa\in I$, et un *idéal bilatère* si les deux conditions sont satisfaites simultanément :

8$$\forall a,b\in A,\ \forall x\in I,\quad axb\in I .$$

**Cas commutatif.** Si $A$ est commutatif, les trois notions coïncident et l'on dit simplement *idéal* : $I$ est un sous-groupe additif vérifiant $AI\subseteq I$.

**Propriété fondamentale.** Si $I$ est un idéal bilatère de $A$, le groupe quotient $A/I$ hérite d'une structure d'anneau par $\overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{ab}$, qui est bien définie précisément grâce à l'absorption des deux côtés. Réciproquement, les idéaux bilatères de $A$ sont exactement les noyaux de morphismes d'anneaux issus de $A$.

14##### Remarques

* **Ce n'est pas un sous-anneau.** Un idéal contient $1$ si et seulement s'il est $A$ tout entier, puisque $1\in I$ entraîne $a=a\cdot 1\in I$ pour tout $a$. Un idéal propre ne contient donc aucun élément inversible. En particulier, un anneau est un corps si et seulement si ses seuls idéaux sont $\{0\}$ et lui-même.

* **Contre-exemple à une confusion fréquente.** Un idéal n'est pas la même chose qu'un sous-anneau : $\mathbb{Z}$ est un sous-anneau de $\mathbb{Q}$ mais n'en est pas un idéal (car $\frac12\cdot 1\notin\mathbb{Z}$), tandis que $2\mathbb{Z}$ est un idéal de $\mathbb{Z}$ mais pas un sous-anneau unitaire.

* **Opérations.** L'intersection d'idéaux est un idéal ; la réunion ne l'est en général pas, et l'on utilise à la place la somme $I+J=\{x+y\}$. On dispose aussi du produit $IJ=\bigl\{\sum_k x_ky_k\bigr\}$, avec $IJ\subseteq I\cap J$, l'inclusion pouvant être stricte : dans $\mathbb{Z}$, $(2)(2)=(4)$ alors que $(2)\cap(2)=(2)$.

* **Idéaux engendrés.** Dans un anneau commutatif, $(a_1,\dots,a_r)=\{\sum a_ix_i : x_i\in A\}$. Un idéal engendré par un seul élément est dit *principal* ; un anneau intègre dont tous les idéaux sont principaux est un *anneau principal*.

22##### Exemples

1. Dans $\mathbb{Z}$, les idéaux sont exactement les $n\mathbb{Z}$ pour $n\geqslant 0$. L'idéal $n\mathbb{Z}$ est premier si et seulement si $n=0$ ou $n$ est premier, et maximal si et seulement si $n$ est premier. Le quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un corps exactement dans ce dernier cas.

2. Dans $K[X]$, les idéaux sont les $(P)$ ; l'idéal $(P)$ est maximal si et seulement si $P$ est irréductible, et $K[X]/(P)$ est alors un corps.

3. Dans $K[X,Y]$, l'idéal $(X,Y)$ n'est pas principal : c'est souvent le premier exemple d'anneau factoriel non principal qu'on rencontre.

Revision 2055

8/22/2026, 5:10:16 PM · Catalpa

Concept created

Un idéal d'un [[Commutative ring|anneau commutatif]] $(R,+,\times)$ est un sous-groupe abélien de $(R,+,\times)$ avec la condition de stabilité suivante : pour tout $r\in R$ et tout $a\in A$,$\;$$ra\in I$.

##### Examples