Intégration par parties

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Revision 4048

9/6/2026, 8:28:56 PM · SalixBabylonica

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Revision 4047

9/6/2026, 8:28:47 PM · SalixBabylonica

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1Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivable. Alors leur produit $uv$ est dérivable et on a :

1### Définition formelle :

2Soient $u$ et $v$ deux fonctions [[dérivables]]. Alors leur produit $uv$ est dérivable et on a :

2$$

3(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.

4$$

Si deux de ces 3 fonctions sont intégrables sur $[a,b]$ avec $a<b$, alors la troisième l'est également et on a l'égalité :

Si deux de ces 3 fonctions sont [[intégrables]] sur $[a,b]$ avec $a<b$, alors la troisième l'est également et on a l'égalité :

6$$

7\int_{a}^{b}(u\cdot v)'(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^bu'(x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x+\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x,

9$$

10qui peut également s'écrire :

11$$

12u(b)\cdot v(b)-u(a)\cdot v(a)=\int_a^bu'(x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x+\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x.

14$$

15Cette méthode est appelée "Intégration par parties".

17**Remarques:**

18### Remarques :

$\bullet$ La plus part du temps, cette méthode sert à calculer une des intégrales de droite en l'écrivant sous la forme $u'v$ et en calculant $\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x$.

$\bullet$ La plupart du temps, cette méthode sert à calculer une des intégrales de droite en l'écrivant sous la forme $u'v$ et en calculant $\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x$.

$\bullet$ Ces formules marchent sur n'importes quels intervalles avec les mêmes hypothèses. $a$ et $b$ peuvent éventuellement être infini. Il suffit de vérifier que deux des trois intégrales convergent pour appliquer cette méthode.

$\bullet$ Ces formules marchent sur n'importes quels intervalles avec les mêmes hypothèses. Les bornes $a$ et $b$ peuvent éventuellement être infini.

21$\bullet$ Il suffit de vérifier que deux des trois intégrales convergent pour appliquer cette méthode.

Revision 2588

8/29/2026, 1:21:41 PM · Raph

Concept translation created

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivable. Alors leur produit $uv$ est dérivable et on a :
$$
(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
$$
Si deux de ces 3 fonctions sont intégrables sur $[a,b]$ avec $a<b$, alors la troisième l'est également et on a l'égalité :
$$
\int_{a}^{b}(u\cdot v)'(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^bu'(x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x+\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x,

$$
qui peut également s'écrire :
$$
u(b)\cdot v(b)-u(a)\cdot v(a)=\int_a^bu'(x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x+\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x.

$$
Cette méthode est appelée "Intégration par parties".

**Remarques:**
$\bullet$ La plus part du temps, cette méthode sert à calculer une des intégrales de droite en l'écrivant sous la forme $u'v$ et en calculant $\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x$.
$\bullet$ Ces formules marchent sur n'importes quels intervalles avec les mêmes hypothèses. $a$ et $b$ peuvent éventuellement être infini. Il suffit de vérifier que deux des trois intégrales convergent pour appliquer cette méthode.