Ivan Shishkin, Birch Grove

Intégration par parties

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Revision 7628

10/23/2026, 8:02:42 AM · Ancient Tree

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Revision 7627

10/23/2026, 8:02:27 AM · Ancient Tree

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Compare with revision 55942 changed lines
1### Définition formelle :
2Soient $u$ et $v$ deux fonctions [[dérivables]]. Alors leur produit $uv$ est dérivable et on a :
2Soient $u$ et $v$ deux fonctions [[dérivables]]. Alors leur produit $u\cdot v$ est dérivable et on a :
3$$
4(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
5$$
6Si deux des trois fonctions $(u\cdot v)'$, $u'\cdot v$ et $u\cdot v'$ sont [[intégrables]] sur $[a,b]$ avec $a<b$, alors la troisième l'est également et on a l'égalité :
7$$
8\int_{a}^{b}(u\cdot v)'(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^bu'(x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x+\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x,
9
10$$
11qui peut également s'écrire :
12$$
13u(b)\cdot v(b)-u(a)\cdot v(a)=\int_a^bu'(x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x+\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x.
14
15$$
16Cette méthode est appelée « intégration par parties ».
17
18### Remarques :
19$\bullet$ La plupart du temps, cette méthode sert à calculer une des intégrales de droite en l'écrivant sous la forme $u'v$ et en calculant $\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x$.
20$\bullet$ Ces formules marchent sur n'importe quels intervalles avec les mêmes hypothèses. Les bornes $a$ et $b$ peuvent éventuellement être infinis.
21$\bullet$ Il suffit de vérifier que deux des trois intégrales convergent pour appliquer cette méthode.

Revision 5594

9/22/2026, 9:41:08 AM · Ancient Tree

Concept reviewed

statusUsableReviewed

Revision 5426

9/20/2026, 11:05:07 AM · quark67

J'explicite les 3 fonctions en question, car dans la formulation précédente, il n'était fait état (dans la première phrase) que des 2 fonctions u et v.

Compare with revision 54052 changed lines
1### Définition formelle :
2Soient $u$ et $v$ deux fonctions [[dérivables]]. Alors leur produit $uv$ est dérivable et on a :
3$$
4(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
5$$
6Si deux de ces 3 fonctions sont [[intégrables]] sur $[a,b]$ avec $a<b$, alors la troisième l'est également et on a l'égalité :
6Si deux des trois fonctions $(u\cdot v)'$, $u'\cdot v$ et $u\cdot v'$ sont [[intégrables]] sur $[a,b]$ avec $a<b$, alors la troisième l'est également et on a l'égalité :
7$$
8\int_{a}^{b}(u\cdot v)'(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^bu'(x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x+\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x,
9
10$$
11qui peut également s'écrire :
12$$
13u(b)\cdot v(b)-u(a)\cdot v(a)=\int_a^bu'(x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x+\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x.
14
15$$
16Cette méthode est appelée « intégration par parties ».
17
18### Remarques :
19$\bullet$ La plupart du temps, cette méthode sert à calculer une des intégrales de droite en l'écrivant sous la forme $u'v$ et en calculant $\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x$.
20$\bullet$ Ces formules marchent sur n'importe quels intervalles avec les mêmes hypothèses. Les bornes $a$ et $b$ peuvent éventuellement être infinis.
21$\bullet$ Il suffit de vérifier que deux des trois intégrales convergent pour appliquer cette méthode.

Revision 5405

9/20/2026, 8:03:07 AM · Ancient Tree

Translation marked up to date

translation freshnessSource revision 969Source revision 5054

Revision 4064

9/7/2026, 6:08:38 AM · quark67

Grammaire et typographie (guillemets typographiques à la place des guillemets dactylographiques)

Compare with revision 40484 changed lines
1### Définition formelle :
2Soient $u$ et $v$ deux fonctions [[dérivables]]. Alors leur produit $uv$ est dérivable et on a :
3$$
4(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
5$$
6Si deux de ces 3 fonctions sont [[intégrables]] sur $[a,b]$ avec $a<b$, alors la troisième l'est également et on a l'égalité :
7$$
8\int_{a}^{b}(u\cdot v)'(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^bu'(x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x+\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x,
9
10$$
11qui peut également s'écrire :
12$$
13u(b)\cdot v(b)-u(a)\cdot v(a)=\int_a^bu'(x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x+\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x.
14
15$$
16Cette méthode est appelée "Intégration par parties".
16Cette méthode est appelée « intégration par parties ».
17
18### Remarques :
19$\bullet$ La plupart du temps, cette méthode sert à calculer une des intégrales de droite en l'écrivant sous la forme $u'v$ et en calculant $\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x$.
20$\bullet$ Ces formules marchent sur n'importes quels intervalles avec les mêmes hypothèses. Les bornes $a$ et $b$ peuvent éventuellement être infini.
20$\bullet$ Ces formules marchent sur n'importe quels intervalles avec les mêmes hypothèses. Les bornes $a$ et $b$ peuvent éventuellement être infinis.
21$\bullet$ Il suffit de vérifier que deux des trois intégrales convergent pour appliquer cette méthode.

Revision 4048

9/6/2026, 8:28:56 PM · SalixBabylonica

Concept marked usable

statusStubUsable

Revision 4047

9/6/2026, 8:28:47 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 258812 changed lines
1Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivable. Alors leur produit $uv$ est dérivable et on a :
1### Définition formelle :
2Soient $u$ et $v$ deux fonctions [[dérivables]]. Alors leur produit $uv$ est dérivable et on a :
2$$
3(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
4$$
5Si deux de ces 3 fonctions sont intégrables sur $[a,b]$ avec $a<b$, alors la troisième l'est également et on a l'égalité :
6Si deux de ces 3 fonctions sont [[intégrables]] sur $[a,b]$ avec $a<b$, alors la troisième l'est également et on a l'égalité :
6$$
7\int_{a}^{b}(u\cdot v)'(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^bu'(x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x+\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x,
8
9$$
10qui peut également s'écrire :
11$$
12u(b)\cdot v(b)-u(a)\cdot v(a)=\int_a^bu'(x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x+\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x.
13
14$$
15Cette méthode est appelée "Intégration par parties".
16
17**Remarques:**
18### Remarques :
18$\bullet$ La plus part du temps, cette méthode sert à calculer une des intégrales de droite en l'écrivant sous la forme $u'v$ et en calculant $\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x$.
19$\bullet$ La plupart du temps, cette méthode sert à calculer une des intégrales de droite en l'écrivant sous la forme $u'v$ et en calculant $\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x$.
19$\bullet$ Ces formules marchent sur n'importes quels intervalles avec les mêmes hypothèses. $a$ et $b$ peuvent éventuellement être infini. Il suffit de vérifier que deux des trois intégrales convergent pour appliquer cette méthode.
20$\bullet$ Ces formules marchent sur n'importes quels intervalles avec les mêmes hypothèses. Les bornes $a$ et $b$ peuvent éventuellement être infini.
21$\bullet$ Il suffit de vérifier que deux des trois intégrales convergent pour appliquer cette méthode.

Revision 2588

8/29/2026, 1:21:41 PM · Raph

Concept translation created

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivable. Alors leur produit $uv$ est dérivable et on a :
$$
(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
$$
Si deux de ces 3 fonctions sont intégrables sur $[a,b]$ avec $a<b$, alors la troisième l'est également et on a l'égalité :
$$
\int_{a}^{b}(u\cdot v)'(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^bu'(x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x+\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x,

$$
qui peut également s'écrire :
$$
u(b)\cdot v(b)-u(a)\cdot v(a)=\int_a^bu'(x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x+\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x.

$$
Cette méthode est appelée "Intégration par parties".

**Remarques:**
$\bullet$ La plus part du temps, cette méthode sert à calculer une des intégrales de droite en l'écrivant sous la forme $u'v$ et en calculant $\int_a^bu(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x$.
$\bullet$ Ces formules marchent sur n'importes quels intervalles avec les mêmes hypothèses. $a$ et $b$ peuvent éventuellement être infini. Il suffit de vérifier que deux des trois intégrales convergent pour appliquer cette méthode.