Concept history

Améliorations typographiques, notamment concernant les espaces avant et après le crochet fermant ]

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##### Définition intuitive
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Dans $\mathbb{R}$ (l'ensemble des [[Nombre réel|nombres réels]]), les intervalles fermés sont les [[Intervalle|intervalles]] qui contiennent leurs [[Borne inférieure|bornes inférieures]] et [[Borne supérieure|supérieures]] sauf si les bornes en questions sont [[Infini|infinies]].
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Dans $\bar{\mathbb{R}}$ (la [[Droite réelle achevée|droite réelle achevée]]), les intervalles fermés sont les intervalles qui contiennent leurs bornes inférieures et supérieures.

##### Définition formelle
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Dans $\mathbb{R}$ (resp. $\bar{\mathbb{R}}$), les intervalles fermés sont exactement les intervalles qui sont fermés dans $\mathbb{R}$ (resp. $\bar{\mathbb{R}}$).
$\newline$
Dans $\mathbb{R}$, les intervalles fermés sont les intervalles de la forme :
- L'[[Ensemble vide|ensemble vide]] : $\emptyset$
- Les [[singleton-fr|singletons]] $\{a\}$ où $a \in \mathbb{R}$
- Les [[segment-fr|segments]] : $[a,b]$ où $a < b$ sont des réels
- Les intervalles [[Minorant|minorés]] [[Majorant|non-majorés]] : $[a, +\infty[$ où $a \in \mathbb{R}$
- Les intervalles majorés non-minorés : $]-\infty, a]$ où $a \in \mathbb{R}$
- La droite réelle : $\mathbb{R} = ]-\infty , +\infty[$
$\newline$
Dans $\bar{\mathbb{R}}$, les intervalles fermés sont les intervalles de la forme :
- L'ensemble vide : $\emptyset$
- Les singletons $\{a\}$ où $a \in \mathbb{R}$
- Les segments de $\mathbb{R}$ : $[a,b]$ où $a < b$ sont des réels
- $[a, +\infty]$ où $a \in \mathbb{R}$
- $[-\infty, a]$ où $a \in \mathbb{R}$
- La droite réelle achevée : $\bar{\mathbb{R}} = [-\infty , +\infty]$
On peut écrire tous ces intervalles comme cela : $[a,b]$ où $a$ et $b$ sont dans $\bar{\mathbb{R}}$. Dans le cas où $a > b$, $[a,b] =\emptyset$