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##### Définition intuitive
Une application linéaire continue entre espaces normés déforme les vecteurs sans jamais les faire exploser au-delà d'un facteur fixe : il existe une constante qui majore le rapport entre la taille de l'image et celle du vecteur. La norme d'opérateur est **la meilleure** de ces constantes, c'est-à-dire le facteur d'agrandissement maximal. Géométriquement, c'est le rayon de la plus petite boule contenant l'image de la boule unité : on regarde ce que devient la boule sous l'action de l'opérateur, et l'on mesure jusqu'où elle s'étend. Cette définition a deux vertus. D'abord elle fait de l'espace des opérateurs continus un espace normé à son tour, complet dès que l'espace d'arrivée l'est, ce qui permet de faire de l'analyse sur les opérateurs eux-mêmes (séries, limites, exponentielles,...). Ensuite elle est *sous-multiplicative* : la norme d'une composée ne dépasse pas le produit des normes, ce qui traduit l'idée que deux déformations successives ne peuvent amplifier plus que le produit de leurs amplifications. C'est cette inégalité qui rend possibles les théorèmes de point fixe par exemple.

##### Définition formelle
Soient $(E,\|\cdot\|_E)$ et $(F,\|\cdot\|_F)$ deux espaces vectoriels normés sur $K=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et $u:E\to F$ linéaire.

**Théorème (caractérisation de la continuité).** Les assertions suivantes sont équivalentes :
* $u$ est continue sur $E$ ;
* $u$ est continue en $0$ ;
* $u$ est bornée sur la boule unité ;
* il existe $C\geqslant 0$ tel que $\|u(x)\|_F\leqslant C\|x\|_E$ pour tout $x\in E$ ;
* $u$ est lipschitzienne.

On note $\mathcal{L}_c(E,F)$ l'ensemble de ces applications. Pour $u\in\mathcal{L}_c(E,F)$, la *norme d'opérateur* (ou norme subordonnée) est
$$\vert\!\vert\!\vert u\vert\!\vert\!\vert=\sup_{x\neq 0}\frac{\|u(x)\|_F}{\|x\|_E}=\sup_{\|x\|_E\leqslant 1}\|u(x)\|_F=\sup_{\|x\|_E=1}\|u(x)\|_F,$$
la dernière égalité valant dès que $E\neq\{0\}$. C'est le plus petit $C$ convenant dans la majoration ci-dessus, d'où l'inégalité fondamentale
$$\forall x\in E,\qquad \|u(x)\|_F\leqslant \vert\!\vert\!\vert u\vert\!\vert\!\vert\ \|x\|_E .$$

**Propriétés.**
$$\textbf{(norme)}\quad \vert\!\vert\!\vert\cdot\vert\!\vert\!\vert \text{ est une norme sur } \mathcal{L}_c(E,F);$$
$$\textbf{(sous-multiplicativité)}\quad \vert\!\vert\!\vert v\circ u\vert\!\vert\!\vert\leqslant \vert\!\vert\!\vert v\vert\!\vert\!\vert\ \vert\!\vert\!\vert u\vert\!\vert\!\vert;$$
$$\textbf{(complétude)}\quad F \text{ complet}\ \Longrightarrow\ \mathcal{L}_c(E,F) \text{ complet}.$$

*Preuve de la complétude.* Si $(u_n)$ est de Cauchy, alors $(u_n(x))$ l'est dans $F$ pour tout $x$, de limite $u(x)$ ; la linéarité passe à la limite. En faisant tendre $m\to\infty$ dans $\|u_n(x)-u_m(x)\|\leqslant\varepsilon\|x\|$, on obtient $\vert\!\vert\!\vert u_n-u\vert\!\vert\!\vert\leqslant\varepsilon$, donc $u$ est continue et $u_n\to u$ en norme. $\square$

##### Remarques

* **La borne supérieure n'est pas toujours atteint.** En dimension finie, la sphère unité est compacte et le sup est un maximum. En dimension infinie il peut ne pas l'être : sur $c_0$, la forme $u\bigl((x_n)\bigr)=\sum_n 2^{-n-1}x_n$ a pour norme $1$ sans qu'aucun vecteur de la boule unité ne la réalise.
* **Dépendance aux normes choisies.** Sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, les normes subordonnées usuelles diffèrent : $\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert_1=\max_j\sum_i|a_{ij}|$ (max des sommes de colonnes), $\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert_\infty=\max_i\sum_j|a_{ij}|$ (max des sommes de lignes), et $\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert_2=\sqrt{\rho(A^{*}A)}$, la plus grande valeur singulière. En dimension finie elles sont toutes équivalentes, mais leurs valeurs diffèrent.
* **Toutes les normes d'algèbre ne sont pas subordonnées.** La norme de Frobenius $\|A\|_F=\sqrt{\sum_{ij}|a_{ij}|^{2}}$ est sous-multiplicative mais n'est subordonnée à aucune norme vectorielle, car $\|I_n\|_F=\sqrt n\neq 1$ alors que toute norme subordonnée vérifie $\vert\!\vert\!\vert I\vert\!\vert\!\vert=1$.
* **Conditionnement.** En analyse numérique, $\kappa(A)=\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert\cdot\vert\!\vert\!\vert A^{-1}\vert\!\vert\!\vert\geqslant 1$ mesure l'amplification des erreurs relatives dans la résolution de $Ax=b$. Une matrice mal conditionnée rend le système numériquement instable, même s'il est mathématiquement bien posé.

##### Exemples

1. **Homothétie.** $u=\lambda\,\mathrm{id}$ a pour norme $|\lambda|$ pour toute norme sur $E$. En particulier $\vert\!\vert\!\vert\mathrm{id}\vert\!\vert\!\vert=1$.
2. **Formes linéaires.** Sur $\mathbb{R}^{n}$ euclidien, $\varphi=\langle a,\cdot\rangle$ a pour norme $\|a\|_2$, l'égalité étant réalisée en $x=a/\|a\|$ par Cauchy–Schwarz. C'est le contenu métrique du théorème de Riesz.
3. Opérateur de décalage. Sur $\ell^{2}(\mathbb{N})$, le décalage $S(x_0,x_1,\dots)=(0,x_0,x_1,\dots)$ est une isométrie, donc $\vert\!\vert\!\vert S\vert\!\vert\!\vert=1$, alors qu'il n'a aucune valeur propre : la norme ne détecte pas le spectre ponctuel.
4. **Opérateur intégral.** Sur $\mathcal{C}([0,1])$ muni de $\|\cdot\|_\infty$, l'opérateur $(Tf)(x)=\int_{0}^{1}K(x,y)f(y)\,\mathrm{d}y$ vérifie $\vert\!\vert\!\vert T\vert\!\vert\!\vert=\sup_x\int_{0}^{1}|K(x,y)|\,\mathrm{d}y$.
6. **Contre-exemple (non-continuité).** L'opérateur de dérivation $D:P\mapsto P'$ sur $\mathbb{R}[X]$ muni de $\|\cdot\|_\infty$ sur $[0,1]$ n'est pas continu : $\|X^{n}\|_\infty=1$ tandis que $\|nX^{n-1}\|_\infty=n$. Sa norme d'opérateur n'existe pas, ce qui illustre que la définition suppose la continuité.