Ivan Shishkin, Birch Grove

Norme

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Revision 3008

8/30/2026, 6:12:07 PM · La chouette aveugle

Added exercise "Irrégularité des bases algébriques dans un espace de Banach"

linked exercisesExemples de normes, Existence de norme, Espaces vectoriel normés quotient et semi-normesExemples de normes, Existence de norme, Espaces vectoriel normés quotient et semi-normes, Irrégularité des bases algébriques dans un espace de Banach

Revision 2995

8/30/2026, 5:38:59 PM · La chouette aveugle

Added exercise "Espaces vectoriel normés quotient et semi-normes"

linked exercisesExemples de normes, Existence de normeExemples de normes, Existence de norme, Espaces vectoriel normés quotient et semi-normes

Revision 2982

8/30/2026, 5:10:24 PM · La chouette aveugle

Updated text

Compare with revision 29781 changed line
1##### Intuition
2Une norme est un objet permettant de mesurer la "taille" ou "longueur" d'un vecteur.
3
4##### Définition formelle
5
6Une norme sur un [[Vector space|espace vectoriel]] $E$ est une fonction $N:E\rightarrow \R^{+}$ avec les propriétés suivantes, pour tous vecteurs $x,y\in E$ et scalaires $a\in \R$:
7
81. Séparation: si $N(x)=0$, alors $x=0$.
92. Homogénéité: $N(ax)=|a|N(x)$.
103. Inégalité triangulaire: $N(x+y)\leq N(x)+N(y)$.
11
12##### Remarques
13- Les normes sont souvent notées $\|.\|$ : par exemple, on notera $\|(x,y)\|$ pour la norme du vecteur $(x,y)$ dans $\R^{2}$.
14- Un espace vectoriel avec une norme s'appelle un [[Normed vector space|espace vectoriel normé]].
15- Notons que, dans la définition formelle, on peut simplement supposer que $N$ est à valeurs dans $\mathbb{R}$. En effet, si $x \in E$, par l'inégalité triangulaire, $0 = \lVert x - x \rVert \leq 2\lVert x \rVert$, et ainsi $\lVert x \rVert$ est nécessairement positif pour tout $x$.
15
16##### Exemples
17- La norme euclidienne (ou "norme $2$") est définie par $\lVert (x,y)\rVert_{2} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$.
18- Plus généralement, on définit sur $\mathbb{R}^{n}$ les "normes $p$" (où $p$ est un réel plus grand que $1$) par $\lVert (x_{1},\,...\,,\,x_{n})\rVert_{p} = \big( \sum_{i = 1}^{n}\lvert x_{i}\rvert^{p}\big)^{\frac{1}{p}}$.
19- La norme infinie sur $\mathbb{R}^{n}$ est donnée par $\lVert (x_{1},\,...\,,\,x_{n})\rVert_{\infty} = \underset{1 \leq i \leq n}{\mathrm{max}}(\lvert x_{i} \rvert)$.
20- Sur l'espace $\mathcal{C}([0,1])$ (les fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$), l'application $f \mapsto \sqrt{\int_{0}^{1}f^{2}(t)dt}$ est une norme.

Revision 2978

8/30/2026, 5:08:07 PM · La chouette aveugle

Added exercise "Existence de norme"

linked exercisesExemples de normesExemples de normes, Existence de norme

Revision 2975

8/30/2026, 5:06:26 PM · La chouette aveugle

Added exercise "Exemples de normes"

linked exercisesNoneExemples de normes

Revision 2972

8/30/2026, 5:03:14 PM · Sequoia

Status changed from reviewed to usable: pas encore d'exercice

statusReviewedUsable

Revision 2969

8/30/2026, 5:02:53 PM · Sequoia

Concept reviewed

statusUsableReviewed

Revision 2966

8/30/2026, 4:56:44 PM · La chouette aveugle

Updated text

Compare with revision 17906 changed lines
1##### Intuition
2Une norme est un objet permettant de mesurer la "taille" ou "longueur" d'un vecteur.
3
4##### Définition formelle
5
6Une norme sur un [[Vector space|espace vectoriel]] $E$ est une fonction $N:E\rightarrow \R^{+}$ avec les propriétés suivantes, pour tous vecteurs $x,y\in E$ et scalaires $a\in \R$:
7
81. Séparation: si $N(x)=0$, alors $x=0$.
92. Homogénéité: $N(ax)=|a|N(x)$.
103. Inégalité triangulaire: $N(x+y)\leq N(x)+N(y)$.
11
12##### Remarques
13- Les normes sont souvent notées $\|.\|$ : par exemple, on notera $\|(x,y)\|$ pour la norme du vecteur $(x,y)$ dans $\R^{2}$.
14- Un espace vectoriel avec une norme s'appelle un [[Normed vector space|espace vectoriel normé]].
15
16##### Exemples
17- La norme euclidienne (ou "norme $2$") est définie par $\lVert (x,y)\rVert_{2} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$.
18- Plus généralement, on définit sur $\mathbb{R}^{n}$ les "normes $p$" (où $p$ est un réel plus grand que $1$) par $\lVert (x_{1},\,...\,,\,x_{n})\rVert_{p} = \big( \sum_{i = 1}^{n}\lvert x_{i}\rvert^{p}\big)^{\frac{1}{p}}$.
19- La norme infinie sur $\mathbb{R}^{n}$ est donnée par $\lVert (x_{1},\,...\,,\,x_{n})\rVert_{\infty} = \underset{1 \leq i \leq n}{\mathrm{max}}(\lvert x_{i} \rvert)$.
20- Sur l'espace $\mathcal{C}([0,1])$ (les fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$), l'application $f \mapsto \sqrt{\int_{0}^{1}f^{2}(t)dt}$ est une norme.

Revision 1790

8/20/2026, 4:38:40 PM · Sequoia

Concept marked usable

statusStubUsable

Revision 1438

8/16/2026, 8:41:28 AM · Ancient Tree

Concept created

##### Intuition
Une norme est un objet permettant de mesurer la "taille" ou "longueur" d'un vecteur.

##### Définition formelle

Une norme sur un [[Vector space|espace vectoriel]] $E$ est une fonction $N:E\rightarrow \R^{+}$ avec les propriétés suivantes, pour tous vecteurs $x,y\in E$ et scalaires $a\in \R$:

1. Séparation: si $N(x)=0$, alors $x=0$.
2. Homogénéité: $N(ax)=|a|N(x)$.
3. Inégalité triangulaire: $N(x+y)\leq N(x)+N(y)$.

##### Remarques
- Les normes sont souvent notées $\|.\|$ : par exemple, on notera $\|(x,y)\|$ pour la norme du vecteur $(x,y)$ dans $\R^{2}$.
- Un espace vectoriel avec une norme s'appelle un [[Normed vector space|espace vectoriel normé]].