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### Définition intuitive

Un $p$-groupe est un groupe dont toute la structure est gouvernée par un unique nombre
premier $p$ : son cardinal est une puissance de $p$, et l'ordre de chacun de ses éléments
aussi. Ce sont en quelque sorte les « briques élémentaires » attachées à $p$ dans la théorie
des groupes finis, ce que les théorèmes de Sylow rendent précis en montrant que tout groupe
fini se décompose, du point de vue de chaque premier $p$, autour de ses $p$-sous-groupes
maximaux. Leur intérêt vient de leurs propriétés très rigides : un $p$-groupe fini non
trivial possède toujours un centre non trivial, il est nilpotent, et il admet une suite de
sous-groupes emboîtés d'indices $p$ successifs, autant de contraintes qui n'ont pas
d'analogue pour un groupe fini quelconque.

### Définition formelle

Soit $p$ un nombre premier.
Un groupe $G$ est un $p$-groupe si tout élément de $G$ est d'ordre une puissance de
$p$, c'est-à-dire
\[
  \forall g\in G,\ \exists k\in\mathbb{N},\quad g^{p^{k}}=e .
\]

### Proposition
Si $G$ est fini, cette condition équivaut à
\[
  |G|=p^{n}\quad\text{pour un certain } n\in\mathbb{N}.
\]

**Preuve :**
Si $|G|=p^{n}$, l'ordre de tout élément divise $|G|$ par le théorème de Lagrange, donc est
une puissance de $p$. Réciproquement, si $|G|$ admettait un diviseur premier
$q\neq p$, le théorème de Cauchy fournirait un élément d'ordre $q$, dont l'ordre ne serait
pas une puissance de $p$. 

### Définition
Soit $G$ un groupe fini d'ordre $|G|=p^{n}m$ avec $p\nmid m$. Un \emph{$p$-sous-groupe de
Sylow} de $G$ est un sous-groupe $H\leqslant G$ d'ordre $p^{n}$, c'est-à-dire un $p$-groupe
d'ordre maximal dans $G$.


### Remarque
Pour les groupes infinis, la définition retenue ci-dessus (« tout élément est d'ordre une
puissance de $p$ ») est celle des \emph{$p$-groupes de torsion} ; certains auteurs réservent
le terme aux seuls groupes finis. Un $p$-groupe fini non trivial vérifie $Z(G)\neq\{e\}$ : en
faisant agir $G$ sur lui-même par conjugaison, l'équation aux classes
\[
  |G|=|Z(G)|+\sum_{i}\bigl[G:C_G(x_i)\bigr]
\]
a tous ses termes de la somme divisibles par $p$, donc $p$ divise $|Z(G)|$.

### Exemples

1.  Le groupe cyclique $\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}$ est un $p$-groupe, et c'est le seul $p$-groupe cyclique d'ordre $p^{n}$ à isomorphisme près.
2.  $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{n}$ est un $p$-groupe abélien élémentaire, d'ordre $p^{n}$. Vu comme $\mathbb{F}_p$-espace vectoriel de dimension $n$, ses sous-groupes sont exactement ses sous-espaces.
3.  Pour $p=2$ : il y a cinq groupes d'ordre $8$ à isomorphisme près, dont deux non abéliens, le groupe diédral $D_4$ des isométries du carré et le groupe des quaternions $Q_8$.
4.  Le groupe $U_n(\mathbb{F}_p)$ des matrices triangulaires supérieures de taille $n$ à coefficients dans $\mathbb{F}_p$ et à diagonale unité est un $p$-groupe d'ordre $p^{n(n-1)/2}$ ; c'est un $p$-sous-groupe de Sylow de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$.
Pour $n=3$ on retrouve le groupe de Heisenberg, d'ordre $p^{3}$.
5.  Dans $\mathfrak{S}_4$, d'ordre $24=2^{3}\cdot 3$, les $2$-sous-groupes de Sylow sont d'ordre $8$ et isomorphes à $D_4$ ; il y en a trois.
6.  Le groupe de Prüfer
   \[
\mathbb{Z}(p^{\infty})=\bigl\{z\in\mathbb{C}^{*}\ :\ \exists k\in\mathbb{N},\
        z^{p^{k}}=1\bigr\}
    \]
est un $p$-groupe infini, abélien, dont tous les sous-groupes propres sont finis et cycliques.
7.  Contre-exemple. $\mathfrak{S}_3$ n'est pas un $p$-groupe : son ordre $6$ n'est une puissance d'aucun nombre premier, et il contient à la fois des éléments d'ordre $2$ et d'ordre $3$.