Polynôme irréductible
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Revision 7322
10/16/2026, 7:31:19 PM · SalixBabylonica
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Soit $K$ un corps. Un polynôme $P\in K[X]$ est irréductible sur $K$ s'il ne peut pas être écrit comme $P(X)=A(X)B(X)$ où $A,B\in K[X]$ sont des polynômes de [[Degree of a polynomial|degré]] strictement positif.1
##### Définition2
Soit $\mathbb{K}$ un [[corps]]. Un polynôme $P\in \mathbb{K}[X]$ est irréductible sur $\mathbb{K}$ s'il ne peut pas être écrit comme $P(X)=A(X)B(X)$ où $A,B\in \mathbb{K}[X]$ sont des polynômes de [[Degree of a polynomial|degré]] strictement positif.3
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##### Remarques5
- Dans un corps $\mathbb{K}$ [[Corps algébriquement clos | algébriquement clos]], tel que $\mathbb{C}$, tout polynôme non constant possède au moins une racine. Donc seul les polynômes de $\mathbb{K}[X]$ de degré $1$ sont irréductibles.6
- Pour déterminer si un polynôme est irréductible dans des corps tels que $\mathbb Q$ ou $\mathbb R$, on peut commencer par calculer ses racines dans $\mathbb C$. On regroupe ensuite les facteurs associés à ces racines afin de faire apparaître un polynôme à coefficients dans le corps considéré. Par exemple, dans $\mathbb R[X]$, les racines complexes non réelles apparaissent par paires conjuguées et donnent naissance à des facteurs irréductibles de degré $2$.Revision 1718
8/20/2026, 9:02:36 AM · Ancient Tree
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Soit $K$ un corps. Un polynôme $P\in K[X]$ est irréductible sur $K$ s'il ne peut pas être écrit comme $P(X)=A(X)B(X)$ où $A,B\in K[X]$ sont des polynômes de [[Degree of a polynomial|degré]] strictement positif.