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##### Définition intuitive
Prolonger une application, c'est l'étendre à un domaine plus grand sans modifier ce qu'elle fait déjà là où elle était définie. La question intéressante n'est jamais l'existence brute, car il suffirait de compléter n'importe comment, mais l'existence d'un prolongement qui **conserve des propriétés** de départ, comme par exemple la linéarité, la continuité, la norme, ou certaines régularités. Pour les formes linéaires, la situation est particulièrement nette. Sur un sous-espace $V$ d'un espace $E$, une forme linéaire se prolonge toujours algébriquement : il suffit de compléter une base de $V$ en une base de $E$ et de décider arbitrairement des valeurs sur les vecteurs ajoutés. Ce prolongement existe mais il est massivement non unique, et rien ne garantit qu'il reste borné. Le théorème de Hahn–Banach répond précisément à cette difficulté. Sa conséquence est décisive : il y a toujours assez de formes linéaires continues pour distinguer les vecteurs, calculer les normes, et séparer les convexes. Sans lui, le dual topologique d'un espace normé pourrait être vide de tout contenu utile, et toute la dualité en analyse fonctionnelle s'effondrerait.

##### Définition formelle
Soient $V\subseteq E$ un sous-espace vectoriel et $\varphi:V\to K$ une forme linéaire. Un *prolongement* de $\varphi$ à $E$ est une forme linéaire $\widetilde{\varphi}:E\to K$ telle que
$$\widetilde{\varphi}\vert_{V}=\varphi .$$

**Prolongement algébrique.** Tout supplémentaire $W$ de $V$ dans $E$ fournit un prolongement, en posant $\widetilde{\varphi}(v+w)=\varphi(v)$. L'existence d'un tel supplémentaire, en dimension infinie, requiert l'axiome du choix. L'ensemble des prolongements est en bijection avec $W^{*}$ : il est réduit à un élément si et seulement si $V=E$.

**Théorème de Hahn–Banach (forme analytique réelle).** Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel, $p:E\to\mathbb{R}$ *sous-linéaire*, c'est-à-dire
$$p(\lambda x)=\lambda p(x)\ (\lambda>0),\qquad p(x+y)\leqslant p(x)+p(y),$$
et $\varphi:V\to\mathbb{R}$ linéaire vérifiant $\varphi\leqslant p$ sur $V$. Alors il existe $\widetilde{\varphi}:E\to\mathbb{R}$ linéaire prolongeant $\varphi$ et vérifiant $\widetilde{\varphi}\leqslant p$ sur $E$ tout entier.

*Idée de preuve.* On procède par étapes de dimension $1$. Pour $a\notin V$, il faut choisir $t=\widetilde{\varphi}(a)$ compatible, c'est-à-dire tel que $\varphi(v)+\lambda t\leqslant p(v+\lambda a)$ pour tous $v\in V$, $\lambda\in\mathbb{R}$. En séparant $\lambda>0$ et $\lambda<0$, cette contrainte se ramène à
$$\sup_{v\in V}\bigl(\varphi(v)-p(v-a)\bigr)\ \leqslant\ t\ \leqslant\ \inf_{w\in V}\bigl(p(w+a)-\varphi(w)\bigr),$$
et l'intervalle est non vide car la sous-linéarité donne $\varphi(v)+\varphi(w)=\varphi(v+w)\leqslant p(v+w)\leqslant p(v-a)+p(w+a)$. Le lemme de Zorn, appliqué à l'ensemble ordonné des prolongements partiels dominés par $p$, conclut. $\square$

**Corollaire (version normée).** Si $E$ est normé et $\varphi\in V'$, il existe $\widetilde{\varphi}\in E'$ prolongeant $\varphi$ avec
$$\vert\!\vert\!\vert\widetilde{\varphi}\vert\!\vert\!\vert_{E'}=\vert\!\vert\!\vert\varphi\vert\!\vert\!\vert_{V'} .$$
Il suffit d'appliquer le théorème à $p(x)=\vert\!\vert\!\vert\varphi\vert\!\vert\!\vert\,\|x\|$ ; l'inégalité inverse est automatique puisque le sup porte sur un ensemble plus grand.

##### Remarques
* **Les trois conséquences fondamentales.** Pour tout $x_0\neq 0$ dans un espace normé $E$, il existe $\varphi\in E'$ avec $\vert\!\vert\!\vert\varphi\vert\!\vert\!\vert=1$ et $\varphi(x_0)=\|x_0\|$. On l'obtient en prolongeant depuis la droite $Kx_0$. Il en découle que $E'$ **sépare les points**, que $\|x\|=\sup_{\vert\!\vert\!\vert\varphi\vert\!\vert\!\vert\leqslant 1}|\varphi(x)|$, et que l'injection canonique $E\to E''$ est isométrique.
* **Non-unicité.** Le prolongement de Hahn–Banach n'est en général pas unique. Il l'est si et seulement si $E'$ est *strictement convexe* en un sens approprié ; sur un espace de Hilbert, le prolongement de norme minimale est unique et donné par la projection orthogonale, mais sur $\ell^{1}$ ou $\mathcal{C}([0,1])$ il y a une infinité de prolongements optimaux.
* **Le rôle de l'axiome du choix.** Hahn–Banach est strictement plus faible que l'axiome du choix mais n'est pas démontrable dans ZF seul. Dans les espaces séparables, un argument de récurrence dénombrable suffit et l'on peut se passer du lemme de Zorn.
* **Forme géométrique.** Le théorème équivaut à un énoncé de séparation : deux convexes disjoints d'un espace normé, l'un ouvert, sont séparés par un hyperplan fermé. Si l'un est compact et l'autre fermé, la séparation est stricte. C'est cette version qui sert en optimisation convexe et en théorie de la dualité.
* **Prolongement par densité.** C'est un mécanisme différent et bien plus élémentaire : si $V$ est **dense** dans $E$ et $F$ complet, toute application uniformément continue $u:V\to F$ se prolonge de manière **unique** en une application continue sur $E$, de même norme si $u$ est linéaire. Ici l'unicité est acquise, mais la densité est une hypothèse forte que Hahn–Banach ne suppose pas.

##### Exemples
1. **Prolongement trivial.** Sur $V=\{(x,0) : x\in\mathbb{R}\}\subset\mathbb{R}^{2}$, la forme $\varphi(x,0)=x$ admet pour prolongements toutes les $\widetilde{\varphi}(x,y)=x+cy$, $c\in\mathbb{R}$. Pour la norme euclidienne, le seul de norme minimale $1$ est $c=0$ ; pour la norme $\|\cdot\|_\infty$, tous les $c\in[-1,1]$ conviennent, d'où la non-unicité.
2. **Norme atteinte.** Pour $x_0\in E$ non nul, poser $\varphi(\lambda x_0)=\lambda\|x_0\|$ sur la droite $Kx_0$ donne une forme de norme $1$ ; son prolongement fournit la forme séparante mentionnée ci-dessus.
3. **Limites de Banach.** Sur $\ell^{\infty}(\mathbb{N})$, on prolonge la limite usuelle, définie seulement sur le sous-espace des suites convergentes, en une forme linéaire $L$ de norme $1$, positive et invariante par décalage. Elle n'est explicitable par aucune formule, mais son existence permet de « moyenner » des suites bornées quelconques.