Ivan Shishkin, Birch Grove

Raisonnement par récurrence

Concept history

A revision trail for this concept page.

16 revisions

Back

Revision 3924

9/5/2026, 4:26:44 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 38422 changed lines
1##### Définition intuitive
2Le raisonnement par récurrence consiste à montrer que la [[propriété]] est vraie pour le premier [[entier]], puis qu’elle se transmet d’un entier au suivant, comme une rangée de dominos : si le premier tombe et que chacun fait tomber le suivant, alors ils tombent tous.
3
4##### Définition formelle
5Il existe trois types de raisonnement par récurrence : la récurrence simple, la récurrence double et la récurrence forte.
6
71) $\textbf{Raisonnement par récurrence simple}$
8
9Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
10Si on a établi que :
11- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
12- $\textbf{Hérédité :}$ Pour tout entier $n\geqslant n_{0}$, $P(n)\ \Rightarrow\ P(n+1).$
13
14Alors pour entier $n\geqslant n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
15
162) $\textbf{Raisonnement par récurrence double}$
17
18Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
19Si on a établie que :
20- $\textbf{Double initialisation :}$ $P(n_{0})$ et $P(n_{0}+1)$ sont vraies.
21- $\textbf{Double hérédité :}$ Pour tout entier $n\geqslant n_{0}$, $\big[ \, P(n) \, \text{et} \, P(n+1) \big] \Rightarrow\ P(n+2).$
22
23Alors pour entier $n\geqslant n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
24
253) $\textbf{Raisonnement par récurrence forte}$
26
27Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
28Si on a établie que :
29- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
30- $\textbf{Hérédité forte:}$ Pour tout entier $n\geqslant n_{0}$, $\big[ \, \forall k\in \llbracket n_{0},n \rrbracket ,\, P(k) \big] \Rightarrow\ P(n+1).$
31
32Alors pour entier $n\geqslant n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
33
34##### Rédaction pour le raisonnement par récurrence simple :
34##### Exemple de rédaction pour le raisonnement par récurrence simple :
35Pour $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant n_{0}$, notons $P(n)=$ « Ici la proposition, à écrire, et dépendant de $n$ » , et montrons que $P(n)$ est vraie par récurrence simple.
36
37- $\textbf{Initialisation :}$ Ici on montre (sauf si c'est évident) et on écrit explicitement que $P(n_{0})$ est vraie.
38- $\textbf{Hérédité :}$ Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant n_{0}$, supposons que $P(n)$ est vraie. Montrons que $P(n+1)$ est vraie.
39\[...\]
40 \[\text{Démonstration de } P(n+1) \]
41 \[...\]
42Donc $P(n+1)$ est vraie.
43
44$\textbf{Conclusion :}$ Donc $\forall n \in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant n_0$, $P(n)$ est vraie.
45
46$\textbf{Remarque pour la rédaction :}$
47- Le rang $n_0$ est souvent donné par l'énoncé mais cela peut être à vous de le déterminer.
48- Il n'est pas nécessaire d'écrire Initialisation, Hérédité, Conclusion dans la rédaction.
49
50$\textbf{Attention :}$ Dans la proposition $P(n)$, on ne doit surtout par écrire : $\forall n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant n_{0}$.
51En effet, $P(n)$ dépend déjà de $n$ donc écrire cela serait complétement faux.

Revision 3842

9/4/2026, 5:22:22 PM · Sequoia

Concept marked usable

statusStubUsable

Revision 3827

9/4/2026, 4:53:04 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 38261 changed line
1En cours
2##### Définition intuitive
3Le raisonnement par récurrence consiste à montrer que la [[propriété]] est vraie pour le premier [[entier]], puis qu’elle se transmet d’un entier au suivant, comme une rangée de dominos : si le premier tombe et que chacun fait tomber le suivant, alors ils tombent tous.
4
5##### Définition formelle
6Il existe trois types de raisonnement par récurrence : la récurrence simple, la récurrence double et la récurrence forte.
7
81) $\textbf{Raisonnement par récurrence simple}$
9
10Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
11Si on a établi que :
12- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
13- $\textbf{Hérédité :}$ Pour tout entier $n\geqslant n_{0}$, $P(n)\ \Rightarrow\ P(n+1).$
14
15Alors pour entier $n\geqslant n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
16
172) $\textbf{Raisonnement par récurrence double}$
18
19Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
20Si on a établie que :
21- $\textbf{Double initialisation :}$ $P(n_{0})$ et $P(n_{0}+1)$ sont vraies.
22- $\textbf{Double hérédité :}$ Pour tout entier $n\geqslant n_{0}$, $\big[ \, P(n) \, \text{et} \, P(n+1) \big] \Rightarrow\ P(n+2).$
23
24Alors pour entier $n\geqslant n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
25
263) $\textbf{Raisonnement par récurrence forte}$
27
28Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
29Si on a établie que :
30- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
31- $\textbf{Hérédité forte:}$ Pour tout entier $n\geqslant n_{0}$, $\big[ \, \forall k\in \llbracket n_{0},n \rrbracket ,\, P(k) \big] \Rightarrow\ P(n+1).$
32
33Alors pour entier $n\geqslant n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
34
35##### Rédaction pour le raisonnement par récurrence simple :
36Pour $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant n_{0}$, notons $P(n)=$ « Ici la proposition, à écrire, et dépendant de $n$ » , et montrons que $P(n)$ est vraie par récurrence simple.
37
38- $\textbf{Initialisation :}$ Ici on montre (sauf si c'est évident) et on écrit explicitement que $P(n_{0})$ est vraie.
39- $\textbf{Hérédité :}$ Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant n_{0}$, supposons que $P(n)$ est vraie. Montrons que $P(n+1)$ est vraie.
40\[...\]
41 \[\text{Démonstration de } P(n+1) \]
42 \[...\]
43Donc $P(n+1)$ est vraie.
44
45$\textbf{Conclusion :}$ Donc $\forall n \in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant n_0$, $P(n)$ est vraie.
46
47$\textbf{Remarque pour la rédaction :}$
48- Le rang $n_0$ est souvent donné par l'énoncé mais cela peut être à vous de le déterminer.
49- Il n'est pas nécessaire d'écrire Initialisation, Hérédité, Conclusion dans la rédaction.
50
51$\textbf{Attention :}$ Dans la proposition $P(n)$, on ne doit surtout par écrire : $\forall n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant n_{0}$.
52En effet, $P(n)$ dépend déjà de $n$ donc écrire cela serait complétement faux.

Revision 3826

9/4/2026, 4:52:40 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 38222 changed lines
1En cours
2##### Définition intuitive
3Le raisonnement par récurrence consiste à montrer que la [[propriété]] est vraie pour le premier [[entier]], puis qu’elle se transmet d’un entier au suivant, comme une rangée de dominos : si le premier tombe et que chacun fait tomber le suivant, alors ils tombent tous.
4
5##### Définition formelle
6Il existe trois types de raisonnement par récurrence : la récurrence simple, la récurrence double et la récurrence forte.
7
81) $\textbf{Raisonnement par récurrence simple}$
9
10Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
11Si on a établi que :
12- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
13- $\textbf{Hérédité :}$ Pour tout entier $n\geqslant n_{0}$, $P(n)\ \Rightarrow\ P(n+1).$
14
15Alors pour entier $n\geqslant n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
16
172) $\textbf{Raisonnement par récurrence double}$
18
19Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
20Si on a établie que :
21- $\textbf{Double initialisation :}$ $P(n_{0})$ et $P(n_{0}+1)$ sont vraies.
22- $\textbf{Double hérédité :}$ Pour tout entier $n\geqslant n_{0}$, $\big[ \, P(n) \, \text{et} \, P(n+1) \big] \Rightarrow\ P(n+2).$
23
24Alors pour entier $n\geqslant n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
25
263) $\textbf{Raisonnement par récurrence forte}$
27
28Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
29Si on a établie que :
30- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
31- $\textbf{Hérédité forte:}$ Pour tout entier $n\geqslant n_{0}$, $\big[ \, \forall k\in \llbracket n_{0},n \rrbracket ,\, P(k) \big] \Rightarrow\ P(n+1).$
32
33Alors pour entier $n\geqslant n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
34
35##### Rédaction pour le raisonnement par récurrence simple :
36Pour $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant n_{0}$, notons $P(n)=$ « Ici la proposition, à écrire, et dépendant de $n$ » , et montrons que $P(n)$ est vraie par récurrence simple.
37
38- $\textbf{Initialisation :}$ Ici on montre (sauf si c'est évident) et on écrit explicitement que $P(n_{0})$ est vraie.
39- $\textbf{Hérédité :}$ Soit $n\geqslant n_{0}$, supposons que $P(n)$ est vraie. Montrons que $P(n+1)$ est vraie.
39- $\textbf{Hérédité :}$ Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant n_{0}$, supposons que $P(n)$ est vraie. Montrons que $P(n+1)$ est vraie.
40\[...\]
41 \[\text{Démonstration de } P(n+1) \]
42 \[...\]
43Donc $P(n+1)$ est vraie.
44
45$\textbf{Conclusion :}$ Donc $\forall n \in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant n_0$, $P(n)$ est vraie.
46
47$\textbf{Remarque pour la rédaction :}$
48- Le rang $n_0$ est souvent donné par l'énoncé mais cela peut être à vous de le déterminer.
49- Il n'est pas nécessaire d'écrire Initialisation, Hérédité, Conclusion dans la rédaction.
50
51$\textbf{Attention :}$ Dans la proposition $P(n)$, on ne doit surtout par écrire : $\forall n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant n_{0}$.
52En effet, $P(n)$ dépend déjà de $n$ donc écrire cela serait complétement faux.

Revision 3822

9/4/2026, 4:37:56 PM · SalixBabylonica

Added exercise "Mon troisième pas dans le raisonnement par récurrence"

linked exercisesMon premier pas dans le raisonnement par récurrence., Mon deuxième pas dans le raisonnement par récurrenceMon premier pas dans le raisonnement par récurrence., Mon deuxième pas dans le raisonnement par récurrence, Mon troisième pas dans le raisonnement par récurrence

Revision 3812

9/4/2026, 3:30:39 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 37712 changed lines
1En cours
2##### Définition intuitive
3Le raisonnement par récurrence consiste à montrer que la [[propriété]] est vraie pour le premier [[entier]], puis qu’elle se transmet d’un entier au suivant, comme une rangée de dominos : si le premier tombe et que chacun fait tomber le suivant, alors ils tombent tous.
4
5##### Définition formelle
6Il existe trois types de raisonnement par récurrence : la récurrence simple, la récurrence double et la récurrence forte.
7
81) $\textbf{Raisonnement par récurrence simple}$
9
10Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
11Si on a établi que :
12- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
13- $\textbf{Hérédité :}$ Pour tout entier $n\geqslant n_{0}$, $P(n)\ \Rightarrow\ P(n+1).$
14
15Alors pour entier $n\geqslant n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
16
172) $\textbf{Raisonnement par récurrence double}$
18
19Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
20Si on a établie que :
21- $\textbf{Double initialisation :}$ $P(n_{0})$ et $P(n_{0}+1)$ sont vraies.
22- $\textbf{Double hérédité :}$ Pour tout entier $n\geqslant n_{0}$, $\big[ \, P(n) \, \text{et} \, P(n+1) \big] \Rightarrow\ P(n+2).$
23
24Alors pour entier $n\geqslant n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
25
263) $\textbf{Raisonnement par récurrence forte}$
27
28Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
29Si on a établie que :
30- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
31- $\textbf{Hérédité forte:}$ Pour tout entier $n\geqslant n_{0}$, $\big[ \, \forall k\in \llbracket n_{0},n \rrbracket \, \big] \Rightarrow\ P(n+1).$
31- $\textbf{Hérédité forte:}$ Pour tout entier $n\geqslant n_{0}$, $\big[ \, \forall k\in \llbracket n_{0},n \rrbracket ,\, P(k) \big] \Rightarrow\ P(n+1).$
32
33Alors pour entier $n\geqslant n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
34
35##### Rédaction pour le raisonnement par récurrence simple :
36Pour $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant n_{0}$, notons $P(n)=$ « Ici la proposition, à écrire, et dépendant de $n$ » , et montrons que $P(n)$ est vraie par récurrence simple.
37
38- $\textbf{Initialisation :}$ Ici on montre (sauf si c'est évident) et on écrit explicitement que $P(n_{0})$ est vraie.
39- $\textbf{Hérédité :}$ Soit $n\geqslant n_{0}$, supposons que $P(n)$ est vraie. Montrons que $P(n+1)$ est vraie.
40\[...\]
41 \[\text{Démonstration de } P(n+1) \]
42 \[...\]
43Donc $P(n+1)$ est vraie.
44
45$\textbf{Conclusion :}$ Donc $\forall n \in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant n_0$, $P(n)$ est vraie.
46
47$\textbf{Remarque pour la rédaction :}$
48- Le rang $n_0$ est souvent donné par l'énoncé mais cela peut être à vous de le déterminer.
49- Il n'est pas nécessaire d'écrire Initialisation, Hérédité, Conclusion dans la rédaction.
50
51$\textbf{Attention :}$ Dans la proposition $P(n)$, on ne doit surtout par écrire : $\forall n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant n_{0}$.
52En effet, $P(n)$ dépend déjà de $n$ donc écrire cela serait complétement faux.

Revision 3771

9/4/2026, 6:45:38 AM · quark67

Orthographe (accent final sur hérédité, verbes), guillemets français («») au lieu de typographiques ("), symbole supérieur ou égal avec \geqslant (⩾) au lieu de \ge (primitive TeX) ou \geq (commande LaTeX) qui produisent le moins joli ≥

Compare with revision 373728 changed lines
1En cours
2##### Définition intuitive
3Le raisonnement par récurrence consiste à montrer que la [[propriété]] est vraie pour le premier [[entier]], puis qu’elle se transmet d’un entier au suivant, comme une rangée de dominos : si le premier tombe et que chacun fait tomber le suivant, alors ils tombent tous.
4
5##### Définition formelle
6Il existe trois types de raisonnement par récurrence : la récurrence simple, la récurrence double et la récurrence forte.
7
81) $\textbf{Raisonnement par récurrence simple}$
9
10Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
11Si on a établie que :
11Si on a établi que :
12- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
13- $\textbf{Hérédite :}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $P(n)\ \Rightarrow\ P(n+1).$
13- $\textbf{Hérédité :}$ Pour tout entier $n\geqslant n_{0}$, $P(n)\ \Rightarrow\ P(n+1).$
14
15Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
15Alors pour entier $n\geqslant n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
16
172) $\textbf{Raisonnement par récurrence double}$
18
19Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
20Si on a établie que :
21- $\textbf{Double initialisation :}$ $P(n_{0})$ et $P(n_{0}+1)$ sont vraies.
22- $\textbf{Double hérédite :}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $\big[ \, P(n) \, \text{et} \, P(n+1) \big] \Rightarrow\ P(n+2).$
22- $\textbf{Double hérédité :}$ Pour tout entier $n\geqslant n_{0}$, $\big[ \, P(n) \, \text{et} \, P(n+1) \big] \Rightarrow\ P(n+2).$
23
24Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
24Alors pour entier $n\geqslant n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
25
263) $\textbf{Raisonnement par récurrence forte}$
27
28Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
29Si on a établie que :
30- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
31- $\textbf{Hérédite forte:}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $\big[ \, \forall k\in \llbracket n_{0},n \rrbracket \, \big] \Rightarrow\ P(n+1).$
31- $\textbf{Hérédité forte:}$ Pour tout entier $n\geqslant n_{0}$, $\big[ \, \forall k\in \llbracket n_{0},n \rrbracket \, \big] \Rightarrow\ P(n+1).$
32
33Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
33Alors pour entier $n\geqslant n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
34
35##### Rédaction pour le raisonnement par récurrence simple :
36Pour $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_{0}$, notons $P(n)=$ "Ici la proposition, à écrire, et dépendant de $n$" , et montrons que $P(n)$ est vraie par récurrence simple.
36Pour $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant n_{0}$, notons $P(n)=$ « Ici la proposition, à écrire, et dépendant de $n$ » , et montrons que $P(n)$ est vraie par récurrence simple.
37
38- $\textbf{Initialisation :}$ Ici on montre (sauf si c'est évident) et on écris explicitement que $P(n_{0})$ est vraie.
38- $\textbf{Initialisation :}$ Ici on montre (sauf si c'est évident) et on écrit explicitement que $P(n_{0})$ est vraie.
39- $\textbf{Hérédité :}$ Soit $n\ge n_{0}$, supposons que $P(n)$ est vraie. Montrons que $P(n+1)$ est vraie.
39- $\textbf{Hérédité :}$ Soit $n\geqslant n_{0}$, supposons que $P(n)$ est vraie. Montrons que $P(n+1)$ est vraie.
40\[...\]
41 \[\text{Démonstration de } P(n+1) \]
42 \[...\]
43Donc $P(n+1)$ est vraie.
44
45$\textbf{Conclusion :}$ Donc $\forall n \in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_0$, $P(n)$ est vraie.
45$\textbf{Conclusion :}$ Donc $\forall n \in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant n_0$, $P(n)$ est vraie.
46
47$\textbf{Remarque pour la rédaction :}$
48- Le rang $n_0$ est souvent donné par l'énonce mais cela peut être à vous de le déterminer.
48- Le rang $n_0$ est souvent donné par l'énoncé mais cela peut être à vous de le déterminer.
49- Il n'est pas nécessaire d'écrie Initialisation, Hérédité, Conclusion dans la rédaction.
49- Il n'est pas nécessaire d'écrire Initialisation, Hérédité, Conclusion dans la rédaction.
50
51$\textbf{Attention :}$ Dans la proposition $P(n)$, on ne doit surtout par écrire : $\forall n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_{0}$.
51$\textbf{Attention :}$ Dans la proposition $P(n)$, on ne doit surtout par écrire : $\forall n\in \mathbb{N}$ tel que $n\geqslant n_{0}$.
52En effet, $P(n)$ dépend déjà de $n$ donc écrire cela serait complétement faux.

Revision 3737

9/3/2026, 6:25:21 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 37332 changed lines
1En cours
2##### Définition intuitive
3Le raisonnement par récurrence consiste à montrer que la [[propriété]] est vraie pour le premier [[entier]], puis qu’elle se transmet d’un entier au suivant, comme une rangée de dominos : si le premier tombe et que chacun fait tomber le suivant, alors ils tombent tous.
4
5##### Définition formelle
6Il existe trois types de raisonnement par récurrence : la récurrence simple, la récurrence double et la récurrence forte.
7
81) $\textbf{Raisonnement par récurrence simple}$
9
10Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
11Si on a établie que :
12- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
13- $\textbf{Hérédite :}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $P(n)\ \Rightarrow\ P(n+1).$
14
15Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
16
172) $\textbf{Raisonnement par récurrence double}$
18
19Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
20Si on a établie que :
21- $\textbf{Double initialisation :}$ $P(n_{0})$ et $P(n_{0}+1)$ sont vraies.
22- $\textbf{Double hérédite :}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $\big[ \, P(n) \, \text{et} \, P(n+1) \big] \Rightarrow\ P(n+2).$
23
24Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
25
263) $\textbf{Raisonnement par récurrence forte}$
27
28Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
29Si on a établie que :
30- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
31- $\textbf{Hérédite forte:}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $\big[ \, \forall k\in \llbracket n_{0},n \rrbracket \, \big] \Rightarrow\ P(n+1).$
32
33Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
34
35##### Rédaction pour le raisonnement par récurrence simple :
36Pour $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_{0}$, notons $P(n)=$ "Ici la proposition, à écrire, et dépendant de $n$" , et montrons que $P(n)$ est vraie par récurrence simple.
37
38- $\textbf{Initialisation :}$ Ici on montre et on écris explicitement que $P(n_{0})$ est vraie.
38- $\textbf{Initialisation :}$ Ici on montre (sauf si c'est évident) et on écris explicitement que $P(n_{0})$ est vraie.
39- $\textbf{Hérédité :}$ Soit $n\ge n_{0}$, supposons que $P(n)$ est vraie. Montrons que $P(n+1)$ est vraie.
40\[...\]
41 \[\text{Démonstration de } P(n+1) \]
42 \[...\]
43Donc $P(n+1)$ est vraie.
44
45$\textbf{Conclusion :}$ Donc $\forall n \in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_0$, $P(n)$ est vraie.
46
47$\textbf{Remarque pour la rédaction :}$
48- Le rang $n_0$ est souvent donné par l'énonce mais cela peut être à vous de le déterminer.
49- Il n'est pas nécessaire d'écrie Initialisation, Hérédité, Conclusion dans la rédaction.
50
51$\textbf{Attention :}$ Dans la proposition $P(n)$, on ne doit surtout par écrire : $\forall n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_{0}$.
52En effet, $P(n)$ dépend déjà de $n$ donc écrire cela serait complétement faux.

Revision 3733

9/3/2026, 6:15:04 PM · SalixBabylonica

Added exercise "Mon deuxième pas dans le raisonnement par récurrence"

linked exercisesMon premier pas dans le raisonnement par récurrence.Mon premier pas dans le raisonnement par récurrence., Mon deuxième pas dans le raisonnement par récurrence

Revision 3725

9/3/2026, 5:40:16 PM · SalixBabylonica

Added exercise "Mon premier pas dans le raisonnement par récurrence."

linked exercisesNoneMon premier pas dans le raisonnement par récurrence.

Revision 3724

9/3/2026, 5:34:56 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 36115 changed lines
1En cours
2##### Définition intuitive
3Le raisonnement par récurrence consiste à montrer que la [[propriété]] est vraie pour le premier [[entier]], puis qu’elle se transmet d’un entier au suivant, comme une rangée de dominos : si le premier tombe et que chacun fait tomber le suivant, alors ils tombent tous.
4
5##### Définition formelle
6Il existe trois types de raisonnement par récurrence : la récurrence simple,
6Il existe trois types de raisonnement par récurrence : la récurrence simple, la récurrence double et la récurrence forte.
7la récurrence double et la récurrence forte.
8
91) $\textbf{Raisonnement par récurrence simple}$
10
11Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
12Si on a établie que :
13- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
14- $\textbf{Hérédite :}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $P(n)\ \Rightarrow\ P(n+1).$
15
16Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
17
182) $\textbf{Raisonnement par récurrence double}$
19
20Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
21Si on a établie que :
22- $\textbf{Double initialisation :}$ $P(n_{0})$ et $P(n_{0}+1)$ sont vraies.
23- $\textbf{Double hérédite :}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $\big[ \, P(n) \, \text{et} \, P(n+1) \big] \Rightarrow\ P(n+2).$
24
25Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
26
273) $\textbf{Raisonnement par récurrence forte}$
28
29Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
30Si on a établie que :
31- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
32- $\textbf{Hérédite forte:}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $\big[ \, \forall k\in \llbracket n_{0},n \rrbracket \, \big] \Rightarrow\ P(n+1).$
33
34Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
35
36##### Rédaction pour le raisonnement par récurrence simple :
37Pour $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_{0}$, notons $P(n)=$ "Ici la proposition, à écrire, et dépendant de $n$" , et montrons que $P(n)$ est vraie par récurrence simple.
38
39- $\textbf{Initialisation :}$ Ici on montre et on écris explicitement que $P(n_{0})$ est vraie.
40- $\textbf{Hérédité :}$ Soit $n\ge n_{0}$, supposons que $P(n)$ est vraie. Montrons que $P(n+1)$ est vraie.
41\[...\]
42 \[\text{Démonstration de } P(n+1) \]
43 \[...\]
44Donc $P(n+1)$ est vraie.
45
46$\textbf{Conclusion :}$ Donc $\forall n \in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_0$, $P(n)$ est vraie.
47
48$\textbf{Remarque pour la rédaction :}$
49- Le rang $n_0$ est souvent donné par l'énonce mais cela peut être à vous de le déterminer.
50- Il n'est pas nécessaire d'écrie Initialisation, Hérédité, Conclusion.
49- Il n'est pas nécessaire d'écrie Initialisation, Hérédité, Conclusion dans la rédaction.
51
52$\textbf{Attention :}$ Dans la proposition $P(n)$, on ne doit surtout par écrire : $\forall n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_{0}$.
53En effet, $P(n)$ dépend déjà de $n$ donc écrire cela serait complétement faux.

Revision 3611

9/2/2026, 5:46:20 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 36084 changed lines
1En cours
2##### Définition intuitive
3Le raisonnement par récurrence consiste à montrer que la [[propriété]] est vraie pour le premier [[entier]], puis qu’elle se transmet d’un entier au suivant, comme une rangée de dominos : si le premier tombe et que chacun fait tomber le suivant, alors ils tombent tous.
4
5##### Définition formelle
6Il existe trois types de raisonnement par récurrence : la récurrence simple,
7la récurrence double et la récurrence forte.
8
91) $\textbf{Raisonnement par récurrence simple}$
10
11Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
12Si on a établie que :
13- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
14- $\textbf{Hérédite :}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $P(n)\ \Rightarrow\ P(n+1).$
15
16Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
17
182) $\textbf{Raisonnement par récurrence double}$
19
20Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
21Si on a établie que :
22- $\textbf{Double initialisation :}$ $P(n_{0})$ et $P(n_{0}+1)$ est vraie.
22- $\textbf{Double initialisation :}$ $P(n_{0})$ et $P(n_{0}+1)$ sont vraies.
23- $\textbf{Double hérédite :}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $\big[ \, P(n) \, \text{et} \, P(n+1) \big] \Rightarrow\ P(n+2).$
24
25Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
26
273) $\textbf{Raisonnement par récurrence forte}$
28
29Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
30Si on a établie que :
31- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
32- $\textbf{Hérédite forte:}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $\big( \, \forall k\in \llbracket n_{0},n \rrbracket \, \big) \Rightarrow\ P(n+1).$
32- $\textbf{Hérédite forte:}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $\big[ \, \forall k\in \llbracket n_{0},n \rrbracket \, \big] \Rightarrow\ P(n+1).$
33
34Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
35
36##### Rédaction pour le raisonnement par récurrence simple :
37Pour $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_{0}$, notons $P(n)=$ "Ici la proposition, à écrire, et dépendant de $n$" , et montrons que $P(n)$ est vraie par récurrence simple.
38
39- $\textbf{Initialisation :}$ Ici on montre et on écris explicitement que $P(n_{0})$ est vraie.
40- $\textbf{Hérédité :}$ Soit $n\ge n_{0}$, supposons que $P(n)$ est vraie. Montrons que $P(n+1)$ est vraie.
41\[...\]
42 \[\text{Démonstration de } P(n+1) \]
43 \[...\]
44Donc $P(n+1)$ est vraie.
45
46$\textbf{Conclusion :}$ Donc $\forall n \in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_0$, $P(n)$ est vraie.
47
48$\textbf{Remarque pour la rédaction :}$
49- Le rang $n_0$ est souvent donné par l'énonce mais cela peut être à vous de le déterminer.
50- Il n'est pas nécessaire d'écrie Initialisation, Hérédité, Conclusion.
51
52$\textbf{Attention :}$ Dans la proposition $P(n)$, on ne doit surtout par écrire : $\forall n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_{0}$.
53En effet, $P(n)$ dépend déjà de $n$ donc écrire cela serait complétement faux.

Revision 3608

9/2/2026, 5:40:11 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 36075 changed lines
1En cours
1##### Définition intuitive
2Le raisonnement par récurrence consiste à montrer que la [[propriété]] est vraie pour le premier [[entier]], puis qu’elle se transmet d’un entier au suivant, comme une rangée de dominos : si le premier tombe et que chacun fait tomber le suivant, alors ils tombent tous.
3
4##### Définition formelle
5Il existe trois types de raisonnement par récurrence : la récurrence simple,
6la récurrence double et la récurrence forte.
7
81) $\textbf{Raisonnement par récurrence simple}$
9
10Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
11Si on a établie que :
12- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
13- $\textbf{Hérédite :}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $P(n)\ \Rightarrow\ P(n+1).$
14
15Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
16
172) $\textbf{Raisonnement par récurrence double}$
18
19Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
20Si on a établie que :
21- $\textbf{Double initialisation :}$ $P(n_{0})$ et $P(n_{0}+1)$ est vraie.
22- $\textbf{Double hérédite :}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $\big[ \, P(n) \, \text{et} \, P(n+1) \big] \Rightarrow\ P(n+2).$
23
24Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
25
263) $\textbf{Raisonnement par récurrence forte}$
27
28Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
29Si on a établie que :
30- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
31- $\textbf{Hérédite forte:}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $\big( \, \forall k\in \llbracket n_{0},n \rrbracket \, \big) \Rightarrow\ P(n+1).$
32
33Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
34
35##### Rédaction pour le raisonnement par récurrence simple :
36Pour $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_{0}$, notons $P(n)=$ "Ici la proposition, à écrire, et dépendant de $n$" , et montrons que $P(n)$ est vraie par récurrence simple.
37
38- $\textbf{Initialisation :}$ Ici on montre et on écris explicitement que $P(n_{0})$ est vraie.
39- $\textbf{Hérédité :}$ Soit $n\ge n_{0}$, supposons que $P(n)$ est vraie. Montrons que $P(n+1)$ est vraie.
40\[...\]
41 \[\text{Démonstration de } P(n+1) \]
42 \[...\]
43Donc $P(n+1)$ est vraie.
44
45$\textbf{Conclusion :}$ Donc $\forall n \in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_0$, $P(n)$ est vraie.
46
47$\textbf{Remarque pour la rédaction :}$
48- Le rang $n_0$ est souvent donné par l'énonce mais cela peut être à vous de le déterminer.
49- Il n'est pas nécessaire d'écrie Initialisation, Hérédité, Conclusion.
50
51$\textbf{Attention :}$ Dans la proposition $P(n)$, on ne doit surtout par écrire : $\forall n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_{0}$.
52En effet, $P(n)$ dépend déjà de $n$ donc écrire cela serait complétement faux.
53En effet, $P(n)$ dépend déjà de $n$ donc écrire cela serait complétement faux.
53
54##### Exemples

Revision 3607

9/2/2026, 5:38:59 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 36062 changed lines
1##### Définition intuitive
2Le raisonnement par récurrence consiste à montrer que la [[propriété]] est vraie pour le premier [[entier]], puis qu’elle se transmet d’un entier au suivant, comme une rangée de dominos : si le premier tombe et que chacun fait tomber le suivant, alors ils tombent tous.
3
4##### Définition formelle
5Il existe trois types de raisonnement par récurrence : la récurrence simple,
6la récurrence double et la récurrence forte.
7
81) $\textbf{Raisonnement par récurrence simple}$
9
10Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
11Si on a établie que :
12- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
13- $\textbf{Hérédite :}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $P(n)\ \Rightarrow\ P(n+1).$
14
15Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
16
172) $\textbf{Raisonnement par récurrence double}$
18
19Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
20Si on a établie que :
21- $\textbf{Double initialisation :}$ $P(n_{0})$ et $P(n_{0}+1)$ est vraie.
22- $\textbf{Double hérédite :}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $\big[ \, P(n) \, \text{et} \, P(n+1) \big] \Rightarrow\ P(n+2).$
23
24Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
25
263) $\textbf{Raisonnement par récurrence forte}$
27
28Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
29Si on a établie que :
30- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
31- $\textbf{Hérédite forte:}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $\big( \, \forall k\in \llbracket n_{0},n \rrbracket \, \big) \Rightarrow\ P(n+1).$
32
33Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
34
35### Rédaction pour le raisonnement par récurrence simple :
35##### Rédaction pour le raisonnement par récurrence simple :
36Pour $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_{0}$, notons $P(n)=$ "Ici la proposition, à écrire, et dépendant de $n$" , et montrons que $P(n)$ est vraie par récurrence simple.
37
38- $\textbf{Initialisation :}$ Ici on montre et on écris explicitement que $P(n_{0})$ est vraie.
39- $\textbf{Hérédité :}$ Soit $n\ge n_{0}$, supposons que $P(n)$ est vraie. Montrons que $P(n+1)$ est vraie.
40\[...\]
41 \[\text{Démonstration de } P(n+1) \]
42 \[...\]
43Donc $P(n+1)$ est vraie.
44
45$\textbf{Conclusion :}$ Donc $\forall n \in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_0$, $P(n)$ est vraie.
46
47$\textbf{Remarque pour la rédaction :}$
48- Le rang $n_0$ est souvent donné par l'énonce mais cela peut être à vous de le déterminer.
49- Il n'est pas nécessaire d'écrie Initialisation, Hérédité, Conclusion.
50
51$\textbf{Attention :}$ Dans la proposition $P(n)$, on ne doit surtout par écrire : $\forall n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_{0}$.
52En effet, $P(n)$ dépend déjà de $n$ donc écrire cela serait complétement faux.
53
54##### Exemples

Revision 3606

9/2/2026, 5:36:44 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 360439 changed lines
1##### Définition intuitive
2Le raisonnement par récurrence consiste à montrer que la [[propriété]] est vraie pour le premier [[entier]], puis qu’elle se transmet d’un entier au suivant, comme une rangée de dominos : si le premier tombe et que chacun fait tomber le suivant, alors ils tombent tous.
3
4##### Définition formelle
5Il existe 3 types de raisonnement par récurrence :
5Il existe trois types de raisonnement par récurrence : la récurrence simple,
6la récurrence double et la récurrence forte.
6
7- $\textbf{Raisonnement par récurrence simple}$
81) $\textbf{Raisonnement par récurrence simple}$
8
9Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
10Si on a établie que :
111) $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
12- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
122) $\textbf{Hérédite :}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $P(n)\ \Rightarrow\ P(n+1).$
13- $\textbf{Hérédite :}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $P(n)\ \Rightarrow\ P(n+1).$
13
14Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
15
16- $\textbf{Raisonnement par récurrence double}$
172) $\textbf{Raisonnement par récurrence double}$
17
18Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
19Si on a établie que :
201) $\textbf{Double initialisation :}$ $P(n_{0})$ et $P(n_{0}+1)$ est vraie.
21- $\textbf{Double initialisation :}$ $P(n_{0})$ et $P(n_{0}+1)$ est vraie.
212) $\textbf{Hérédite :}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $\big[ \, P(n) \, \text{et} \, P(n+1) \big] \Rightarrow\ P(n+2).$
22- $\textbf{Double hérédite :}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $\big[ \, P(n) \, \text{et} \, P(n+1) \big] \Rightarrow\ P(n+2).$
22
23Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
24
25- $\textbf{Raisonnement par récurrence forte}$
263) $\textbf{Raisonnement par récurrence forte}$
26
27Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
28Si on a établie que :
291) $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
30- $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
302) $\textbf{Hérédite :}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $\big( \, \forall k\in \llbracket n_{0},n \rrbracket \, \big) \Rightarrow\ P(n+1).$
31- $\textbf{Hérédite forte:}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $\big( \, \forall k\in \llbracket n_{0},n \rrbracket \, \big) \Rightarrow\ P(n+1).$
31
32Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.
33
35### Rédaction pour le raisonnement par récurrence simple :
36Pour $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_{0}$, notons $P(n)=$ "Ici la proposition, à écrire, et dépendant de $n$" , et montrons que $P(n)$ est vraie par récurrence simple.
34
38- $\textbf{Initialisation :}$ Ici on montre et on écris explicitement que $P(n_{0})$ est vraie.
39- $\textbf{Hérédité :}$ Soit $n\ge n_{0}$, supposons que $P(n)$ est vraie. Montrons que $P(n+1)$ est vraie.
40\[...\]
41 \[\text{Démonstration de } P(n+1) \]
42 \[...\]
43Donc $P(n+1)$ est vraie.
44
45$\textbf{Conclusion :}$ Donc $\forall n \in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_0$, $P(n)$ est vraie.
46
47$\textbf{Remarque pour la rédaction :}$
48- Le rang $n_0$ est souvent donné par l'énonce mais cela peut être à vous de le déterminer.
49- Il n'est pas nécessaire d'écrie Initialisation, Hérédité, Conclusion.
50
51$\textbf{Attention :}$ Dans la proposition $P(n)$, on ne doit surtout par écrire : $\forall n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge n_{0}$.
52En effet, $P(n)$ dépend déjà de $n$ donc écrire cela serait complétement faux.
53
35##### Exemples

Revision 3604

9/2/2026, 5:10:04 PM · SalixBabylonica

Concept created

##### Définition intuitive 
Le raisonnement par récurrence consiste à montrer que la [[propriété]] est vraie pour le premier [[entier]], puis qu’elle se transmet d’un entier au suivant, comme une rangée de dominos : si le premier tombe et que chacun fait tomber le suivant, alors ils tombent tous.

##### Définition formelle
Il existe 3 types de raisonnement par récurrence :

- $\textbf{Raisonnement par récurrence simple}$

Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
Si on a établie que :
1) $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
2) $\textbf{Hérédite :}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $P(n)\ \Rightarrow\ P(n+1).$

Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.

- $\textbf{Raisonnement par récurrence double}$

Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
Si on a établie que :
1) $\textbf{Double initialisation :}$ $P(n_{0})$ et $P(n_{0}+1)$ est vraie.
2) $\textbf{Hérédite :}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $\big[ \, P(n) \, \text{et} \, P(n+1) \big] \Rightarrow\ P(n+2).$

Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.

- $\textbf{Raisonnement par récurrence forte}$

Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $(P(n))_{n\ge n_0}$ une suite de propositions.
Si on a établie que :
1) $\textbf{Initialisation :}$ $P(n_{0})$ est vraie.
2) $\textbf{Hérédite :}$ Pour tout entier $n\ge n_{0}$, $\big( \, \forall k\in \llbracket n_{0},n \rrbracket \, \big) \Rightarrow\ P(n+1).$

Alors pour entier $n\ge n_{0}$, $P(n)$ est vraie.


##### Exemples