Ivan Shishkin, Birch Grove

Sous-ensemble

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11 revisions

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Revision 4916

9/14/2026, 7:23:53 PM · darktoaster

notation ensemble strict b8d

Compare with revision 49102 changed lines
1Un [[Ensemble|ensemble]] $A$ est un sous-ensemble (ou une _partie_) d'un ensemble $E$ si tout élément de $A$ appartient aussi à $E$. On note
2$$
3A \subseteq E\,\,\,\text{ou}\,\,\,A\subset E.
4$$
5
6**Exemples et remarques**
7- Si $A\subseteq E$ et $A\neq E$, on dit que $A$ est un sous-ensemble strict de $E$, et on note $A\varsubsetneq E$.
7- Si $A\subset E$ et $A\neq E$, on dit que $A$ est un sous-ensemble strict de $E$, et on note $A\varsubsetneq E$.
8- L'ensemble de toutes les parties de $E$ est noté $\mathcal{P}(E)$.
9- Les parties de $E$ triviales sont l'[[ensemble vide|ensemble vide]] $\varnothing$ ainsi que $E$.
10- Si $E=\{1,2,8\}$ alors $\{1\}$ et $\{1,8\}$ sont des exemples de parties de $E$.

Revision 4910

9/14/2026, 6:58:50 PM · darktoaster

Meilleur symbole pour l'inclusion stricte

Compare with revision 47402 changed lines
1Un [[Ensemble|ensemble]] $A$ est un sous-ensemble (ou une _partie_) d'un ensemble $E$ si tout élément de $A$ appartient aussi à $E$. On note
2$$
3A \subseteq E\,\,\,\text{ou}\,\,\,A\subset E.
4$$
5
6**Exemples et remarques**
7- Si $A\subseteq E$ et $A\neq E$, on dit que $A$ est un sous-ensemble strict de $E$, et on note $A\nsubseteq E$.
7- Si $A\subseteq E$ et $A\neq E$, on dit que $A$ est un sous-ensemble strict de $E$, et on note $A\varsubsetneq E$.
8- L'ensemble de toutes les parties de $E$ est noté $\mathcal{P}(E)$.
9- Les parties de $E$ triviales sont l'[[ensemble vide|ensemble vide]] $\varnothing$ ainsi que $E$.
10- Si $E=\{1,2,8\}$ alors $\{1\}$ et $\{1,8\}$ sont des exemples de parties de $E$.

Revision 4740

9/13/2026, 7:40:50 AM · Ancient Tree

Added exercise "Reconnaître un sous-ensemble"

linked exercisesCardinal de P(E)\mathcal{P}(E), Des exemples de sous-ensembles ?Cardinal de P(E)\mathcal{P}(E), Des exemples de sous-ensembles ?, Reconnaître un sous-ensemble

Revision 4739

9/13/2026, 7:38:25 AM · Ancient Tree

Translation marked up to date

translation freshnessSource revision 188Source revision 2183

Revision 4735

9/13/2026, 7:37:30 AM · Ancient Tree

Added exercise "Des exemples de sous-ensemble ?"

linked exercisesCardinal de P(E)\mathcal{P}(E)Cardinal de P(E)\mathcal{P}(E), Des exemples de sous-ensemble ?

Revision 4734

9/13/2026, 7:34:29 AM · Ancient Tree

Updated text

Compare with revision 472612 changed lines
1Un [[Ensemble|ensemble]] $A$ est un sous-ensemble (ou une _partie_) d'un ensemble $E$ si tout élément de $A$ appartient aussi à $E$. On note
2$$
3A \subseteq E\,\,\,\text{ou}\,\,\,A\subset E.
4$$
5Si de plus on est sûr que $A$ n'est pas égal à $E$ ou pour le signifier, on peut aussi noter $A\subsetneq E$. On dit alors que $A$ est un [[Sous-ensemble propre|sous-ensemble strict]] de $E$.
6
7L'ensemble de toutes les parties de $E$ est noté $\mathcal{P}(E)$.
6**Exemples et remarques**
8
7- Si $A\subseteq E$ et $A\neq E$, on dit que $A$ est un sous-ensemble strict de $E$, et on note $A\nsubseteq E$.
9**Exemples et Remarques:**
8- L'ensemble de toutes les parties de $E$ est noté $\mathcal{P}(E)$.
10$\bullet$ Les parties de $E$ triviales sont l'[[ensemble vide|ensemble vide]] $\varnothing$ ainsi que $E$.
9- Les parties de $E$ triviales sont l'[[ensemble vide|ensemble vide]] $\varnothing$ ainsi que $E$.
11$\bullet$ Si $E=\{1,2,8\}$ alors $\{1\}$ et $\{1,8\}$ sont des exemples de parties de $E$.
10- Si $E=\{1,2,8\}$ alors $\{1\}$ et $\{1,8\}$ sont des exemples de parties de $E$.
12$\bullet$ Si $E$ est fini, alors $\mathcal{P}(E)$ aussi et le [[Cardinal|cardinal]] de $\mathcal{P}(E)$ est $\#\mathcal{P}(E)=2^{\#E}$.

Revision 4726

9/13/2026, 12:25:27 AM · quark67

Emploi du symbole \varnothing pour l'ensemble vide

Compare with revision 22502 changed lines
1Un [[Ensemble|ensemble]] $A$ est un sous-ensemble (ou une _partie_) d'un ensemble $E$ si tout élément de $A$ appartient aussi à $E$. On note
2$$
3A \subseteq E\,\,\,\text{ou}\,\,\,A\subset E.
4$$
5Si de plus on est sûr que $A$ n'est pas égal à $E$ ou pour le signifier, on peut aussi noter $A\subsetneq E$. On dit alors que $A$ est un [[Sous-ensemble propre|sous-ensemble strict]] de $E$.
6
7L'ensemble de toutes les parties de $E$ est noté $\mathcal{P}(E)$.
8
9**Exemples et Remarques:**
10$\bullet$ Les parties de $E$ triviales sont l'[[ensemble vide|ensemble vide]] $\emptyset$ ainsi que $E$.
10$\bullet$ Les parties de $E$ triviales sont l'[[ensemble vide|ensemble vide]] $\varnothing$ ainsi que $E$.
11$\bullet$ Si $E=\{1,2,8\}$ alors $\{1\}$ et $\{1,8\}$ sont des exemples de parties de $E$.
12$\bullet$ Si $E$ est fini, alors $\mathcal{P}(E)$ aussi et le [[Cardinal|cardinal]] de $\mathcal{P}(E)$ est $\#\mathcal{P}(E)=2^{\#E}$.

Revision 2250

8/24/2026, 11:44:47 AM · Sequoia

Updated text

Compare with revision 22424 changed lines
1Un [[Ensemble|ensemble]] $A$ est un sous-ensemble (ou une _partie_) d'un ensemble $E$ si tout élément de $A$ appartient aussi à $E$. On note
2$$
3A \subseteq E.
3A \subseteq E\,\,\,\text{ou}\,\,\,A\subset E.
4$$
5Si de plus on est sûr que $A$ n'est pas égal à $E$ ou pour le signifier, on peut aussi noter $A\subset E$. On dit alors que $A$ est un [[Sous-ensemble propre|sous-ensemble strict]] de $E$.
5Si de plus on est sûr que $A$ n'est pas égal à $E$ ou pour le signifier, on peut aussi noter $A\subsetneq E$. On dit alors que $A$ est un [[Sous-ensemble propre|sous-ensemble strict]] de $E$.
6
7L'ensemble de toutes les parties de $E$ est noté $\mathcal{P}(E)$.
8
9**Exemples et Remarques:**
10$\bullet$ Les parties de $E$ triviales sont l'[[ensemble vide|ensemble vide]] $\emptyset$ ainsi que $E$.
11$\bullet$ Si $E=\{1,2,8\}$ alors $\{1\}$ et $\{1,8\}$ sont des exemples de parties de $E$.
12$\bullet$ Si $E$ est fini, alors $\mathcal{P}(E)$ aussi et le [[Cardinal|cardinal]] de $\mathcal{P}(E)$ est $\#\mathcal{P}(E)=2^{\#E}$.

Revision 2242

8/24/2026, 11:22:17 AM · Sequoia

Concept marked usable

statusStubUsable

Revision 2233

8/24/2026, 10:21:23 AM · Sequoia

Updated text, aliases and linked exercises

aliasesNonePartie
linked exercisesNoneCardinal de P(E)\mathcal{P}(E)
Compare with revision 218210 changed lines
1Un [[Ensemble|ensemble]] $A$ est un sous-ensemble d'un ensemble $E$ si tout élément de $A$ appartient aussi à $E$. On note
1Un [[Ensemble|ensemble]] $A$ est un sous-ensemble (ou une _partie_) d'un ensemble $E$ si tout élément de $A$ appartient aussi à $E$. On note
2$$
3A \subseteq E.
4$$
5Si de plus on est sûr que $A$ n'est pas égal à $E$ ou pour le signifier, on peut aussi noter $A\subset E$. On dit alors que $A$ est un [[Sous-ensemble propre|sous-ensemble strict]] de $E$.
6
7L'ensemble de toutes les parties de $E$ est noté $\mathcal{P}(E)$.
8
9**Exemples et Remarques:**
10$\bullet$ Les parties de $E$ triviales sont l'[[ensemble vide|ensemble vide]] $\emptyset$ ainsi que $E$.
11$\bullet$ Si $E=\{1,2,8\}$ alors $\{1\}$ et $\{1,8\}$ sont des exemples de parties de $E$.
12$\bullet$ Si $E$ est fini, alors $\mathcal{P}(E)$ aussi et le [[Cardinal|cardinal]] de $\mathcal{P}(E)$ est $\#\mathcal{P}(E)=2^{\#E}$.

Revision 2182

8/23/2026, 8:14:48 PM · Ancient Tree

Concept created

Un [[Ensemble|ensemble]] $A$ est un sous-ensemble d'un ensemble $E$ si tout élément de $A$ appartient aussi à $E$. On note
$$
A \subseteq E.
$$