Sous-groupe
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Revision 4042
9/6/2026, 8:05:04 PM · SalixBabylonica
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Revision 4032
9/6/2026, 6:50:32 PM · Uettechat
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Un sous-groupe d'un [[Group|groupe]] $G$ est un [[Subset|sous-ensemble]] $H\subseteq G$ qui est lui-même un groupe avec la même opération.1
##### Définition intuitive2
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Montrer qu'un ensemble est un groupe peut être long et fastidieux, notamment pour vérifier l'associativité de la loi de composition interne. Lorsque cet ensemble est inclus dans un groupe déjà connu, on peut en tirer parti : si on munit le sous-ensemble de la restriction de la loi du groupe ambiant, l'associativité se déduit automatiquement — l'égalité $(a∗b)∗c=a∗(b∗c)$, vraie dans le groupe ambiant pour tous éléments, reste vraie en particulier pour des éléments du sous-ensemble.4
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Il ne reste alors à vérifier que trois choses : que le sous-ensemble est non vide (ou, de façon équivalente, qu'il contient le neutre), qu'il est stable par la loi (le produit de deux éléments du sous-ensemble y reste), et qu'il est stable par passage à l'inverse (l'inverse d'un élément du sous-ensemble y reste aussi).6
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##### Définition formelle9
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Un sous-groupe d'un [[Group|groupe]] $(G,*)$ est un [[Subset|sous-ensemble]] $H\subseteq G$ munie d'une structure de groupe pour la même loi de composition $*$ de G.11
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On a la caractérisation d'un sous-groupe:13
$$H \text{ sous-groupe de } G \Longleftrightarrow \begin{cases} H \subseteq G\\ H\neq \emptyset \\\forall x,y\in H, x*y \in H \\ \forall x \in H, x^{-1}\in H\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} H \subseteq G\\ H\neq \emptyset \\ \forall x,y \in H, x*y^{-1} \in H\end{cases}$$14
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##### Exemples17
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- $(\mathbb{Q},+)$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C},+)$19
- $(\mathcal{U}_{n},\times)$ (racines $n$-ièmes de l'unité) est un sous-groupe de $(\mathbb{C^{*}},\times)$Revision 3359
9/1/2026, 7:56:46 AM · araucaria araucana
Added exercise "Critère de sous-groupe"
linked exercisesNoneCritère de sous-groupe
Revision 2181
8/23/2026, 8:12:15 PM · Ancient Tree
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Un sous-groupe d'un [[Group|groupe]] $G$ est un [[Subset|sous-ensemble]] $H\subseteq G$ qui est lui-même un groupe avec la même opération.