Ivan Shishkin, Birch Grove

Topologie

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Revision 5167

9/16/2026, 3:38:21 PM · quark67

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9/16/2026, 3:38:09 PM · quark67

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1### Définition formelle
2Une topologie sur un [[set|ensemble]] $X$ est un ensemble $\tau$ de [[sous-ensemble|parties]] de $X$ appelé [[open set|ouverts]], tel que :
31. L'[[empty set|ensemble vide]] et l'espace total $X$ sont des ouverts.
4 > $\varnothing\in \tau$ et $X\in \tau$.
52. Toute [[arbitrary union|union quelconque]] d'ouverts est un ouvert.
6 > Si$\{U_{i}\}_{i\in I}$ est une famille d'élément de $\tau$, alors $\bigcup_{i \in I} U_i \in \tau$.
6 > Si$\{U_{i}\}_{i\in I}$ est une famille d'élément de $\tau$, alors $\bigcup\limits_{i \in I} U_i \in \tau$.
73. Toute [[Intersection of sets|intersection]] finie d'ouverts est un ouvert.
8 > Si $U_1, \ldots, U_n \in \tau$, alors $U_1 \cap \cdots \cap U_n \in \tau$.
9
10#### Remarques
11
12Un ensemble $X$ muni d'une topologie $\tau$ est appelé un [[Topological space|espace topologique]].
13
14#### Exemples
15
16- La topologie triviale composée de l'ensemble vide et de l'espace total : $\{\varnothing,X\}$
16- La topologie triviale composée de l'ensemble vide et de l'espace total : $\{\varnothing,X\}$.
17- Dans les [[real number|réels]], la topologie engendrée par les [[intervalle-ouvert|intervalles ouverts]].

Revision 5163

9/16/2026, 3:30:26 PM · quark67

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Revision 5162

9/16/2026, 3:30:20 PM · quark67

Emploi de ∅ (\varnothing) pour l'ensemble vide

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1### Définition formelle
2Une topologie sur un [[set|ensemble]] $X$ est un ensemble $\tau$ de [[sous-ensemble|parties]] de $X$ appelé [[open set|ouverts]], tel que :
31. L'[[empty set|ensemble vide]] et l'espace total $X$ sont des ouverts.
4 > $\emptyset\in \tau$ et $X\in \tau$.
4 > $\varnothing\in \tau$ et $X\in \tau$.
52. Toute [[arbitrary union|union quelconque]] d'ouverts est un ouvert.
6 > Si$\{U_{i}\}_{i\in I}$ est une famille d'élément de $\tau$, alors $\bigcup_{i \in I} U_i \in \tau$.
73. Toute [[Intersection of sets|intersection]] finie d'ouverts est un ouvert.
8 > Si $U_1, \ldots, U_n \in \tau$, alors $U_1 \cap \cdots \cap U_n \in \tau$.
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10#### Remarques
11
12Un ensemble $X$ muni d'une topologie $\tau$ est appelé un [[Topological space|espace topologique]].
13
14#### Exemples
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16- La topologie triviale composée de l'ensemble vide et de l'espace total : $\{\emptyset,X\}$
16- La topologie triviale composée de l'ensemble vide et de l'espace total : $\{\varnothing,X\}$
17- Dans les [[real number|réels]], la topologie engendrée par les [[intervalle-ouvert|intervalles ouverts]].

Revision 5032

9/15/2026, 5:35:16 PM · SalixBabylonica

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Revision 5024

9/15/2026, 5:21:58 PM · darktoaster

parties et ouverts au pluriel + concept vers parties

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1### Définition formelle
2Une topologie sur un [[set|ensemble]] $X$ est un ensemble $\tau$ de partie de $X$ appelé [[open set|ouvert]], tel que:
2Une topologie sur un [[set|ensemble]] $X$ est un ensemble $\tau$ de [[sous-ensemble|parties]] de $X$ appelé [[open set|ouverts]], tel que :
31. L'[[empty set|ensemble vide]] et l'espace total $X$ sont des ouverts.
4 > $\emptyset\in \tau$ et $X\in \tau$.
52. Toute [[arbitrary union|union quelconque]] d'ouverts est un ouvert.
6 > Si$\{U_{i}\}_{i\in I}$ est une famille d'élément de $\tau$, alors $\bigcup_{i \in I} U_i \in \tau$.
73. Toute [[Intersection of sets|intersection]] finie d'ouverts est un ouvert.
8 > Si $U_1, \ldots, U_n \in \tau$, alors $U_1 \cap \cdots \cap U_n \in \tau$.
9
10#### Remarques
11
12Un ensemble $X$ muni d'une topologie $\tau$ est appelé un [[Topological space|espace topologique]].
13
14#### Exemples
15
16- La topologie triviale composée de l'ensemble vide et de l'espace total : $\{\emptyset,X\}$
17- Dans les [[real number|réels]], la topologie engendrée par les [[intervalle-ouvert|intervalles ouverts]].

Revision 5023

9/15/2026, 5:19:44 PM · darktoaster

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9/15/2026, 5:19:18 PM · darktoaster

Lien concept intervalle ouvert

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1### Définition formelle
2Une topologie sur un [[set|ensemble]] $X$ est un ensemble $\tau$ de partie de $X$ appelé [[open set|ouvert]], tel que:
31. L'[[empty set|ensemble vide]] et l'espace total $X$ sont des ouverts.
4 > $\emptyset\in \tau$ et $X\in \tau$.
52. Toute [[arbitrary union|union quelconque]] d'ouverts est un ouvert.
6 > Si$\{U_{i}\}_{i\in I}$ est une famille d'élément de $\tau$, alors $\bigcup_{i \in I} U_i \in \tau$.
73. Toute [[Intersection of sets|intersection]] finie d'ouverts est un ouvert.
8 > Si $U_1, \ldots, U_n \in \tau$, alors $U_1 \cap \cdots \cap U_n \in \tau$.
9
10#### Remarques
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12Un ensemble $X$ muni d'une topologie $\tau$ est appelé un [[Topological space|espace topologique]].
13
14#### Exemples
15
16- La topologie trivial composée de l'ensemble vide et de l'espace total : $\{\emptyset,X\}$
16- La topologie triviale composée de l'ensemble vide et de l'espace total : $\{\emptyset,X\}$
17- Dans les [[real number|réels]], la topologie engendrée par les [[open interval|intervalles ouverts]].
17- Dans les [[real number|réels]], la topologie engendrée par les [[intervalle-ouvert|intervalles ouverts]].

Revision 5019

9/15/2026, 5:08:33 PM · SalixBabylonica

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Revision 5018

9/15/2026, 5:08:31 PM · SalixBabylonica

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1### Définition formelle
1Une topologie sur un [[set|ensemble]] $X$ est un ensemble $\tau$ de partie de $X$ appelé [[open set|ouvert]], tel que:
21. L'[[empty set|ensemble vide]] et l'espace total $X$ sont des ouverts.
3 > $\emptyset\in \tau$ et $X\in \tau$.
42. Toute [[arbitrary union|union quelconque]] d'ouverts est un ouvert.
5 > Si$\{U_{i}\}_{i\in I}$ est une famille d'élément de $\tau$, alors $\bigcup_{i \in I} U_i \in \tau$.
63. Toute [[Intersection of sets|intersection]] finie d'ouverts est un ouvert.
7 > Si $U_1, \ldots, U_n \in \tau$, alors $U_1 \cap \cdots \cap U_n \in \tau$.
8
9#### Remarques
10
11Un ensemble $X$ muni d'une topologie $\tau$ est appelé un [[Topological space|espace topologique]].
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13#### Exemples
14
15- La topologie trivial composée de l'ensemble vide et de l'espace total : $\{\emptyset,X\}$
16- Dans les [[real number|réels]], la topologie engendrée par les [[open interval|intervalles ouverts]].

Revision 5016

9/15/2026, 4:55:52 PM · HugoP

Concept translation created

Une topologie sur un [[set|ensemble]] $X$ est un ensemble $\tau$ de partie de $X$ appelé [[open set|ouvert]], tel que:
1. L'[[empty set|ensemble vide]] et l'espace total $X$ sont des ouverts.
    > $\emptyset\in \tau$ et $X\in \tau$.
2. Toute [[arbitrary union|union quelconque]] d'ouverts est un ouvert.
    > Si$\{U_{i}\}_{i\in I}$ est une famille d'élément de $\tau$, alors $\bigcup_{i \in I} U_i \in \tau$.
3. Toute [[Intersection of sets|intersection]] finie d'ouverts est un ouvert.
    > Si $U_1, \ldots, U_n \in \tau$, alors $U_1 \cap \cdots \cap U_n \in \tau$.

#### Remarques

Un ensemble $X$ muni d'une topologie $\tau$ est appelé un [[Topological space|espace topologique]].

#### Exemples

- La topologie trivial composée de l'ensemble vide et de l'espace total : $\{\emptyset,X\}$
- Dans les [[real number|réels]], la topologie engendrée par les [[open interval|intervalles ouverts]].