Unité imaginaire
Concept history
A revision trail for this concept page.
Revision 2212
8/24/2026, 8:21:42 AM · Sequoia
Concept marked usable
statusStubUsable
Revision 2211
8/24/2026, 8:19:00 AM · Sequoia
Updated text
Compare with revision 174215 changed lines
1
L'unité imaginaire $i$ est un nombre défini par $i^{2}=-1$.1
L'unité imaginaire $i$ est définie formellement par $i^{2}=-1$. C'est la pierre angulaire de l'ensemble des [[nombres-complexes|nombres complexes]] $\mathbb{C}$.2
3
##### Remarques4
$\bullet$ Il est **faux** de dire que $i=\sqrt{-1}$ car la fonction [[racine carrée|racine carrée]] n'est définie que sur les réels positifs. L'origine de $i$ provient simplement d'une définition purement formelle. De la même manière que $\sqrt{2}$ n'a pas meilleure définition que "l'unique solution réelle positive telle que $x^2=2$", l'existence de $i$ est simplement forcée en tant que solution de l'équation $x^2+1=0$.5
6
$\bullet$ On peut aussi définir $i$ géométriquement en sortant de l'ensemble des [[réel|réels]], où $x^2+1=0$ n'a pas de solution, pour passer au plan. Dans ce plan, la multiplication par $-1$ d'un vecteur $(x,y)$ donne $(-x,-y)$, soit un quart de tour. En définissant $i$ de telle sorte que la multiplication de $(x,y)$ par $i$ soit un demi-tour, c'est-à-dire $i\cdot(x,y)= (-y,x)$, on a bien que multiplier deux fois par $i$ équivaut à multiplier par $-1$. Ainsi $i^2=-1$.7
8
_Schéma de la représentation géométrique de_ $i$.9
10
**Pour aller plus loin**, _on remarque d'ailleurs que cette définition géométrique correspond bien à la définition des [[nombres-complexes|nombres complexes]]. En effet, le vecteur_ $(x,y)$ _est représenté par l'affixe_ $z=x+iy$ _qui, multiplié par_ $i$, _donne_11
$$12
iz=i(x+iy)=i^2y+ix =-y+ix13
$$14
_qui est justement l'affixe du vecteur_ $(-y,x)$ _obtenu après un quart de tour !_Revision 1742
8/20/2026, 10:03:04 AM · Catalpa
Concept created
L'unité imaginaire $i$ est un nombre défini par $i^{2}=-1$.