Ivan Shishkin, Birch Grove

Valuation pp-adique

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Revision 6385

10/1/2026, 3:20:00 PM · darktoaster

Added exercise "Valuation $p$-adique d’une somme"

linked exercisesIs 2\sqrt{2} a rationnal number ?, Some properties on the pp-adic valuation, Legendre formula for the factorialIs 2\sqrt{2} a rationnal number ?, Some properties on the pp-adic valuation, Legendre formula for the factorial, Valuation pp-adique d’une somme

Revision 6017

9/27/2026, 4:44:12 PM · darktoaster

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Revision 6011

9/27/2026, 3:48:58 PM · budleya

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1### Définition formelle :
2Soir $n$ un entier non-nul et $p$ un [[Nombre premier|nombre premier]]. On définit $\nu_{p} : \Z^{*} \to \N$ la valuation $p$-adique comme suit
3$$\nu_{p}(n) = \max \{i \in \N : p^{i} \mid n \}.$$
4Ainsi, $\nu_{p}(n)$ est l'exposant de la plus grande puissance de $p$ qui divise $n$, avec $\nu_{p}(n) = 0$ si $p$ n'est pas un [[prime factor|facteur premier]] de $n$.
5
6### Remarques
7
8$\bullet$ On peut généraliser cette définition aux rationnels non-nuls en posant $\nu_{p}(\frac{a}{b}) = \nu_{p}(a) - \nu_{p}(b).$ Noter que ceci ne dépend pas du quadruplet $(a,b,c,d) \in (\Z^{*})^{4}$ tel que $\frac ab = \frac cd$.
9
10$\bullet$ Avec cette définition, le [[Fundamental theorem of arithmetic|théorème fondamental de l'arithmétique]] s'écrit
11$$
12\forall n\in\N^*, \ n=\prod_{p\,\,\text{premier}}p^{\nu_p(n)}
13$$
14et cette égalité peut être généralisée à tout rationnel non-nul.
15
16### Exemples
17$\bullet$ La valuation $2$-adique de $8$ est $3$, car $8=2^3$.
18$\bullet$ La valuation $3$-adique de $24$ est $1$, car $24=2^3\times 3$.
19$\bullet$ La valuation $5$-adique de $\displaystyle\frac{10}{25}$ est $\nu_5(10)-\nu_5(25)=\nu_5(5\times2)-\nu_5(5^2)=1-2=-1$.
19$\bullet$ La valuation $5$-adique de $\displaystyle\frac{10}{25}$ est $\nu_5(10)-\nu_5(25)=\nu_5(5\times2)-\nu_5(5^2)=1-2=-1$ (ce qu'on retrouve avec $\nu_5(2)-\nu_5(5)=0-1=-1$ puisque $\displaystyle{10\over25}={2\over5}$).

Revision 4605

9/12/2026, 5:52:25 AM · Ancient Tree

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Revision 4599

9/11/2026, 10:39:41 PM · quark67

Améliorations typographiques (majuscule sur la première lettre du titre, remplacement de `\cdot` par `\times`) et correction mathématique (ajout d'un exposant 4)

titlevaluation pp-adiqueValuation pp-adique
Compare with revision 40466 changed lines
1### Définition formelle :
2Soir $n$ un entier non-nul et $p$ un [[Nombre premier|nombre premier]]. On définit $\nu_{p} : \Z^{*} \to \N$ la valuation $p$-adique comme suit
3$$\nu_{p}(n) = \max \{i \in \N : p^{i} \mid n \}.$$
4Ainsi, $\nu_{p}(n)$ est l'exposant de la plus grande puissance de $p$ qui divise $n$, avec $\nu_{p}(n) = 0$ si $p$ n'est pas un [[prime factor|facteur premier]] de $n$.
5
6### Remarques
7
8$\bullet$ On peut généraliser cette définition aux rationnels non-nuls en posant $\nu_{p}(\frac{a}{b}) = \nu_{p}(a) - \nu_{p}(b).$ Noter que ceci ne dépend pas du quadruplet $(a,b,c,d) \in (\Z^{*})$ tel que $\frac ab = \frac cd$.
8$\bullet$ On peut généraliser cette définition aux rationnels non-nuls en posant $\nu_{p}(\frac{a}{b}) = \nu_{p}(a) - \nu_{p}(b).$ Noter que ceci ne dépend pas du quadruplet $(a,b,c,d) \in (\Z^{*})^{4}$ tel que $\frac ab = \frac cd$.
9
10$\bullet$ Avec cette définition, le [[Fundamental theorem of arithmetic|théorème fondamental de l'arithmétique]] s'écrit
11$$
12\forall n\in\N^*, \ n=\prod_{p\,\,\text{premier}}p^{\nu_p(n)}
13$$
14et cette égalité peut être généralisée à tout rationnel non-nul.
15
16### Exemples
17$\bullet$ La valuation $2$-adique de $8$ est $3$, car $8=2^3$.
18$\bullet$ La valuation $3$-adique de $24$ est $1$, car $24=2^3\cdot 3$.
18$\bullet$ La valuation $3$-adique de $24$ est $1$, car $24=2^3\times 3$.
19$\bullet$ La valuation $5$-adique de $\displaystyle\frac{10}{25}$ est $\nu_5(10)-\nu_5(25)=\nu_5(5\cdot2)-\nu_5(5^2)=1-2=-1$.
19$\bullet$ La valuation $5$-adique de $\displaystyle\frac{10}{25}$ est $\nu_5(10)-\nu_5(25)=\nu_5(5\times2)-\nu_5(5^2)=1-2=-1$.

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9/6/2026, 8:21:54 PM · SalixBabylonica

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Revision 4045

9/6/2026, 8:21:51 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 35149 changed lines
1### Définition formelle :
1Soir $n$ un entier non-nul et $p$ un [[Nombre premier|nombre premier]]. On définit $\nu_{p} : \Z^{*} \to \N$ la valuation $p$-adique comme suit
2$$\nu_{p}(n) = \max \{i \in \N : p^{i} \mid n \}.$$
3Ainsi, $\nu_{p}(n)$ est l'exposant de la plus grande puissance de $p$ qui divise $n$, avec $\nu_{p}(n) = 0$ si $p$ n'est pas un [[prime factor|facteur premier]] de $n$.
4
5**Remarques**
6### Remarques
6
7$\bullet$ On peut généraliser cette définition aux rationnels non-nuls en posant $\nu_{p}(\frac{a}{b}) = \nu_{p}(a) - \nu_{p}(b).$ Noter que ceci ne dépend pas du quadruplet $(a,b,c,d) \in (\Z^{*})$ tel que
8$\bullet$ On peut généraliser cette définition aux rationnels non-nuls en posant $\nu_{p}(\frac{a}{b}) = \nu_{p}(a) - \nu_{p}(b).$ Noter que ceci ne dépend pas du quadruplet $(a,b,c,d) \in (\Z^{*})$ tel que $\frac ab = \frac cd$.
8$\frac ab = \frac cd$.
9
9$\bullet$ Avec cette définition, le [[Fundamental theorem of arithmetic|théorème fondamental de l'arithmétique]] s'écrit
10$$
11\forall n\in\N^*, \ n=\prod_{p\,\,\text{premier}}p^{\nu_p(n)}
12$$
13et cette égalité peut être généralisée à tout rationnel non-nul.
14
15**Exemples**
16### Exemples
16$\bullet$ La valuation $2$-adique de $8$ est $3$, car $8=2^3$.
17$\bullet$ La valuation $3$-adique de $24$ est $1$, car $24=2^3\cdot 3$.
18$\bullet$ La valuation $5$-adique de $\displaystyle\frac{10}{25}$ est $\nu_5(10)-\nu_5(25)=\nu_5(5\cdot2)-\nu_5(5^2)=1-2=-1$.

Revision 3514

9/2/2026, 8:20:47 AM · araucaria araucana

Concept translation created

Soir $n$ un entier non-nul et $p$ un [[Nombre premier|nombre premier]]. On définit $\nu_{p} : \Z^{*} \to \N$ la valuation $p$-adique comme suit 
$$\nu_{p}(n) = \max \{i \in \N : p^{i} \mid n \}.$$
Ainsi, $\nu_{p}(n)$ est l'exposant de la plus grande puissance de $p$ qui divise $n$, avec $\nu_{p}(n) = 0$ si $p$ n'est pas un [[prime factor|facteur premier]] de $n$.

**Remarques**

$\bullet$ On peut généraliser cette définition aux rationnels non-nuls en posant $\nu_{p}(\frac{a}{b}) = \nu_{p}(a) - \nu_{p}(b).$ Noter que ceci ne dépend pas du quadruplet $(a,b,c,d) \in (\Z^{*})$ tel que
$\frac ab = \frac cd$.
$\bullet$ Avec cette définition, le  [[Fundamental theorem of arithmetic|théorème fondamental de l'arithmétique]] s'écrit 
$$
\forall n\in\N^*, \ n=\prod_{p\,\,\text{premier}}p^{\nu_p(n)}
$$
et cette égalité peut être généralisée à tout rationnel non-nul.

**Exemples**
$\bullet$ La valuation $2$-adique de $8$ est $3$, car $8=2^3$.
$\bullet$ La valuation $3$-adique de $24$ est $1$, car $24=2^3\cdot 3$.
$\bullet$ La valuation $5$-adique de $\displaystyle\frac{10}{25}$ est $\nu_5(10)-\nu_5(25)=\nu_5(5\cdot2)-\nu_5(5^2)=1-2=-1$.