Absolute cinema

Un téléviseur est annoncé comme ayant une taille de $55$ pouces. Cette taille correspond à la longueur de la diagonale de l’écran.

On rappelle que
$$1\ \text{pouce}=2{,}54\ \text{cm}.$$

L’écran est au format $16:9$. On note $L$ sa largeur, $H$ sa hauteur et $d$ la longueur de sa diagonale.

1. Convertir la diagonale de l’écran en centimètres.

2. Traduire la donnée « format $16:9$ » par une relation entre $L$ et $H$.

3. En déduire qu’il existe un nombre $x>0$ tel que
   $$L=16x \qquad\text{et}\qquad H=9x.$$

4. À l’aide du théorème de Pythagore, déterminer la largeur et la hauteur, en centimètres, d’un écran de $55$ pouces au format $16:9$.

5. Un meuble destiné à accueillir le téléviseur dispose d’un espace de $120\ \mathrm{cm}$ de largeur et de $75\ \mathrm{cm}$ de hauteur.

Le téléviseur de $55$ pouces peut-il y être installé sans dépasser de l’espace disponible ?

6. On considère maintenant un écran de diagonale $D$ pouces, toujours au format $16:9$.

Montrer que sa largeur et sa hauteur sont proportionnelles à $D$.