Aire d’un triangle dans un quart de cercle

La difficulté de ce problème est de trouver les coordonnées du point $C$. Ce point est bien défini car on impose que le triangle $ABC$ soit rectangle en $C$. Posons $C(x, y)$, on sait que $x^{2}+y^{2}=100$ (E1) car $C$ est sur le quart de cercle.

Comme les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{CB}$ sont perpendiculaires alors leur produit scalaire est nul.
On obtient $\overrightarrow{AC} = (x, y-5)$ et $\overrightarrow{CB} = (10-x, -y)$. Le produit scalaire est alors : $x(10-x)-y(y-5) = 10x-x^{2}-y^{2}+5y = 10x+5y-(x^{2}+y^{2}) = 0$ (E2).

Il suffit d’injecter (E1) dans (E2) et on trouve après simplification $2x+y = 20$.
Pour avoir une équation à une inconnue, on peut faire disparaître $y$ car $y=\sqrt{100-x^{2}}$.
Cela donne $y = 20 - 2x = \sqrt{100-x^2}$. Donc en mettant le tout au carré et en simplifiant, on obtient une équation du second degré : $x^{2} - 16x+60=0$.
Le discriminant vaut $\Delta = 16$ strictement positif donc les solutions sont :
$x_{1} = \frac{16+\sqrt{16}}{2} = 10$ et $x_{2}= \frac{16-\sqrt{16}}{2} = 6$.
Seul $x_{2}$ est comprise dans l’intervalle $]0, 10[$ donc a un sens pour notre problème.
Ainsi le point $C$ a pour coordonnées $(x_{2}, \sqrt{100-x_{2}^{2}}) = (6, 8)$.

L’aire se calcule simplement par la moitié du produit des longueurs des deux côtés formant l’angle droit du triangle rectangle en $C$ : $\dfrac{AC\times CB }{2}$.

Ces deux longueurs se calculent avec la norme des vecteurs et valent respectivement $\sqrt{45}$ et $\sqrt{80}$. L’aire vaut alors après simplification $30$.