Deux triangles imbriqués dans un demi-cercle

On construit le centre $O$ du cercle inscrit, ainsi que les segments $OY, OX$ et $OC$.
Par le théorème de l’angle droit, l’angle $\widehat{ACB}$ vaut $\pi/2$. Puisque $O$ est l’intersection des bissectrices des angles $A,B$ et $C$, on a aussi $\widehat{YCO} = \widehat{XCO} = \pi/4$. De plus, $X$ et $Y$ sont des points de tangence, donc on trouve $\widehat{OYC} = \widehat{OXC} = \pi/2$. Il suit que les angles $\widehat{YOC}$ et $\widehat{XOC}$ sont égaux et valent $\pi - \pi/2 - \pi/4 = \pi/4$. L’angle $Z$ vaut la moitié de l’angle au centre $\widehat{YOX}$, c’est-à-dire $\pi/4$.