Ivan Shishkin, Rye (1878)

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Application du TVI à une équation fonctionnelle.

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Solution

Solution by T.W · FR

Soit x∈Rx\in \R.

Pour, a=0a=0, on a f(x)2=0⇔f(x)=0f(x)^{2}=0 \Leftrightarrow f(x) = 0, c’est-à-dire ∀x∈R,f(x)=0\forall x \in \R, f(x) = 0, donc ff est constante.

Sinon, f(x)2=a⇔f(x)=±af(x)^{2}=a \Leftrightarrow f(x)=\pm \sqrt a, donc ff ne peut prendre pour valeur que a\sqrt a et −a-\sqrt a. Procédons par l’absurde : supposons que ff n’est pas constante, c’est-à-dire, ∃x1≠x2∈R\exist x_{1}\not = x_{2} \in \R tel que f(x1)=af(x_{1})= \sqrt a et f(x2)=−af(x_{2})=-\sqrt a. Or, puisque ff est continue sur R\R, elle est continue sur [x1,x2][x_{1},x_{2}] et [−a,a][-\sqrt a, \sqrt a] n’est pas réduit au singleton (puisque a≠0a \not = 0), on applique le théorème des valeurs intermédiaires pour en déduire qu’il existe c∈]−a,a[c \in ]-\sqrt a, \sqrt a[ et x3∈]x1,x2[x_{3} \in ]x_{1},x_{2}[ tel que f(x3)=cf(x_{3})= c. Ce qui contredit la première constatation faite, ce qui conclut le raisonnement par l’absurde.

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