Bijectivité(s)

Commençons par le sens direct, qui est le plus facile :

Supposons que $g$ est bijective, et notons $g^{-1}$ son inverse. On pose :
$$\begin{array}{lcl} \Psi \ : & \mathcal{F}(E,E) & \longrightarrow \mathcal{F}(E,E) \\ & f & \longmapsto g^{-1} \ \circ \ f \end{array}$$Alors, pour tout $f\in\mathcal{F}(E,E)$, $\Phi \ \circ \ \Psi(f)=g \ \circ \ g^{-1} \ \circ \ f=f$, et $\Psi \ \circ \ \Phi (f)=g^{-1} \ \circ \ g \ \circ \ f=f$. Ainsi, $\Phi \ \circ \Psi = Id_{\mathcal{F}(E,E)}=\Psi \ \circ \ \Phi$, donc $\Phi$ est bien inversible.

Réciproquement, supposons que $\Phi$ est bijective. Alors, il existe $g'\in\mathcal{F}(E,E)$ tel que $g \ \circ \ g'=Id_{E}$. Ici, il faut faire attention. A première vue, on pourrait croire qu’on a terminé. Cependant, pour que $g$ soit bijective, il faut également qu’elle soit inversible à gauche. Montrons que c’est le cas. Posons :
$$\begin{array}{lcl} \Psi \ : & \mathcal{F}(E,E) & \longrightarrow \mathcal{F}(E,E) \\ & f & \longmapsto f \ \circ \ g \end{array}$$Alors, $\Psi$ commute avec $\Phi$ : pour tout $f\in\mathcal{F}(E,E)$, $\Phi \ \circ \ \Psi(f)=g \ \circ f \ \circ \ g$, et $\Psi \ \circ \ \Phi (f)=g \ \circ \ f \ \circ \ g$. Puisque $\Psi$ commute avec $\Phi$, alors elle commute avec son inverse (de manière générale, si $\cdot$ est une opération associative, et qu’il existe $a,b$ avec $a$ inversible pour $\cdot$, tels que $a\cdot b=b\cdot a$, alors en multipliant à gauche et à droite par $a^{-1}$, on obtient $b\cdot a^{-1}=a^{-1} \cdot b$).
Ainsi,
$$\Psi(g')=\Psi(\Phi \ \circ \ \Phi^{-1})(g')=\Phi^{-1}(\Psi \ \circ \ \Phi)(g')=\Phi^{-1}(g \ \circ \ g' \ \circ \ g)=\Phi^{-1}(g)=Id_{E}.$$Donc $g' \ \circ \ g = Id_{E}$, donc $g$ est inversible à gauche et à droite, d’où $g$ bijective.