Calcul de probabilité avec un vecteur gaussien

Cette méthode est purement géométrique. On se ramène à un secteur angulaire dont on détermine la mesure.
On sait que pour simuler un vecteur gaussien $(X,Y)$ centré réduit de matrice de covariance $K$, on peut prendre deux variables aléatoires gaussiennes indépendantes $Z=(Z_1,Z_2)$ telle que si on note $K=LL^{\top}$ la décomposition de Cholesky de $K$, on a $\begin{pmatrix}X \\ Y \end{pmatrix}=L\begin{pmatrix} Z_1 \\ Z_2 \end{pmatrix}$.
Ici $L=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \rho & \sqrt{1-\rho^2}\end{pmatrix}$.

Ainsi, on étudie maintenant la zone $(X>0,Y>0)$ dans le repère fournit par l’origine et les vecteurs $Z_1$ et $Z_2$ car par symétrie $P(XY>0)=2P(X>0,Y>0)$. Il nous faut donc exprimer $X$ et $Y$ dans la base $Z_1, Z_2$, ce que lit sur la matrice
$\left\lbrace \begin{array}{l} X=Z_1 \\ Y=\rho Z_1 +\sqrt{1-\rho^2}Z_2=\cos(\theta)Z_1 +\sin(\theta)Z_2 \end{array}\right.$
où $\rho=\cos(\theta)$. Ce résultat n’a rien de choquant car $\rho=E(XY)$ qui n’est rien d’autre qu’un produit scalaire.

On remarque alors d’emblée que la densité de $(Z_1,Z_2)$ est invariante par rotation modulo $2\pi$ donc il est légitime de passer plutôt en coordonnée polaire pour étudier cette zone.
On écrit donc $Z_1=R\cos(U)$ et $Z_2=R\sin(U)$ mais on sait (avec Box-Müller par exemple) que $U$ suit une loi uniforme sur un intervalle de longueur $2\pi$.

D’abord $X>0$ donc $Z_1>0$ donc $U\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$ presque surement. Puis $Y>0$ donc $\left\langle{Z,u}\right\rangle>0$ avec $u=(\cos(\theta),\sin(\theta))$ donc $R\cos(U)\cos(\theta)+R\sin(U)\sin(\theta)>0$ donc $\cos(U-\theta)>0$ ($R>0$ presque sûrement) et $U\in\left]\theta-\frac{\pi}{2},\theta+\frac{\pi}{2}\right[$ presque surement.

Si on interprète ces produits scalaires, on dit que $Z$ dans le demi plan dans le sens de $(1\; 0)$ délimité par un vecteur orthogonal de $(1\; 0)$ puis pareil pour $u$. Donc $Z$ est dans une intersection deux plans, soit encore un cône avec une certaine ouverture angulaire.
Si on fait un dessin, on voit tout de suite que l’ouverture du cône est de $\pi-\theta$, mais j’ai un peu de mal à faire des tracés en Latex donc je propose un méthode plus analytique et c’est pourquoi j’ai donné l’intervalle où se trouve presque surement $U$.
Par intersection $U\in\left]\theta-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$ donc finalement $Z$ se situe dans le secteur angulaire défini par ce dernier intervalle mais $U$ suit une loi uniforme donc$P(X>0,Y>0)=P\left(U\in\left]\theta-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\right)=\frac{\pi-\theta}{2\pi}$.

Or $\theta=\arccos(\rho)=\frac{\pi}{2}-\arcsin(\rho)$, donc finalement

$$P(XY>0)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arcsin(\rho)$$