Caractérisation d’une loi par ses moments

La fonction caractéristique d’une variable aléatoire réelle $X$ sera notée $\phi_{X}$. On se donne deux variables aléatoires $X$ et $Y$ à valeurs dans $\mathbf{N}$, et on suppose qu’il existe un réel $a \in \:]0,1[$ tel que :
$$\mathbf{P}[X=k] \underset{k \to +\infty}{=} O(a^{k}) \quad \text{et} \quad \mathbf{P}[Y=k] \underset{k \to +\infty}{=} O(a^{k}).$$

1. Si $n \in \mathbf{N}$, vérifier la formule :
   $$\mathbf{P}[X=n] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \phi_{X}(t) e^{-int} \,\mathrm{d}t.$$
2. Montrer que $\phi_{X}$ est développable en série entière au voisinage de tout point de $\mathbf{R}$.
3. On suppose que $\mathbf{E}[X^k] = \mathbf{E}[Y^{k}]$ pour tout $k \in \mathbf{N}$. Conclure que $X$ et $Y$ suivent la même loi.