Compacité des ensembles de Julia

Notons que, par définition, $u_n(z)=P^{\circ n}(z)$ où $f^{\circ n}:=f\circ \dots\circ f$ (composée $n$ fois).

Quand $\vert x\vert$ tend vers l’infini, $\vert x\vert = o(P(x))$ car $P$ est de degré au moins $2$.
Ainsi il existe $M>0$ tel que si $\vert x\vert>M$, alors $\vert P(x)\vert>2\vert x\vert$.
Donc si $|z|>M$, en itérant cette inégalité, $(P^{\circ n}(z))_{n \in \mathbb{N}}$ n’est pas bornée (minorée en norme par $2^{n}M$).
D’où $K\subset \overline{B(0,M)}$ donc $K$ est bornée.

De plus, avec ce qui précède, $K$ est l’ensemble des $z$ tels que pour tout $n\in\N$, $|P^{n}(z)|$ est inférieur à $M$.
Ainsi $K=\bigcap_{n\in\N} u_n^{-1}(\overline{B(0,M)})$ donc c’est une intersection de fermés (car les $u_n$ sont continues en tant que polynômes et la boule fermée de rayon $M$ est fermée). Donc $K$ est un fermé.

Ainsi, $K$ est fermé borné et on est en dimension finie donc c’est un compact.