Continuité de la dérivation

On peut noter qu’un joli théorème qui provient des méthodes de Baire permet de montrer que si $X$ est un sous-espace fermé de $(\mathcal{C}([0,1]),\lVert.\rVert_{\infty})$, $X$ est nécessairement de dimension finie. En particulier, si on veut étudier des espaces de fonctions lisses, le cadre des espaces normés n’est pas approprié !