Démonstration de la formule du crible à l’aide des fonctions indicatrices

Soient $A$ et $B$ tels que $A \subset B$. On définit $\mathbb{1}_{A} : B \longrightarrow {0,1}$ telle que

$$\forall x \in B,\quad \mathbb{1}_A(x)= \begin{cases} 1 & \text{si } x\in A,\\ 0 & \text{si } x\notin A. \end{cases}$$

1. Soit $E$ un ensemble de cardinal fini et soient $A_{1}, ..., A_{n}$ tels que $A_1 \cup ... \cup A_{n} \subset E$. On prend comme ensemble de définition de $1_{A_{i}}$ l’ensemble $E$.

Montrer les propriétés suivantes :

i) $\forall i \in \llbracket 1,n\rrbracket$, $1_{A_{i}} = 1 - 1_{\overline{A_{i}}}$

ii) $\forall i, j \in \llbracket 1,n\rrbracket$, $1_{A_{i}\cap A_{j}} = 1_{A_{i}} \times 1_{A_{j}}$

iii) $\forall k \in \llbracket 1,n\rrbracket$, $1_{\overline{A_1}\cap ... \cap \overline{A_k}} = \displaystyle \prod_{i=1}^{k}(1-1_{A_{i}})$

iv) $\forall i \in \llbracket 1,n\rrbracket, \displaystyle \sum_ {x \in E} 1_{A_{i}}(x) = card (A_i)$

2. À l’aide des propriétés de la question 1, démontrer la formule :

$\left|\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right|=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\displaystyle\sum_{\substack{I\subseteq\llbracket 1,n\rrbracket,|I|=k}}\left|\bigcap_{i\in I}A_i\right|$.