Endomorphisme et tous ses vecteurs propres

Pour tout $x$ différent de $0$ il existe un unique $\lambda_{x}$ tel que $f(x)=\lambda_{x}x$. Montrons que ce scalaire est indépendant de $x$.
Prenons $x$ et $y$.
S’ils sont proportionnels, le résultat est évident.
Supposons qu’ils ne sont pas proportionnels : $f(x)+f(y)=f(x+y)=\lambda_{x+y}(x+y)$
Ainsi, $\lambda_{y}y=(\lambda_{x+y}-\lambda_{x})x+\lambda_{x+y}y$
(en faisant la différence des deux précédentes équations).

Enfin, nous concluons en utilisant la liberté de la famille $(x,y)$.

Donc les solutions sont les $\lambda Id$, avec $\lambda$ des scalaires.