Entiers comme sommes consécutives

Par décomposition en produit de facteurs premiers, tout entier strictement positif s’écrit $n=2^{j}\ell$ avec $j\in\N$ et $\ell$ impair.
Ainsi, on peut écrire $n\in\N^{*}$ sous la forme $n=2^{j}(2k+1)$ avec $k\in\N$.

1. Dans le premier cas, on suppose $k\neq 0$. Ainsi, on considère les entiers qui ont un facteur impair.
   On écrit $n=m(2k+1)$ avec $m$ une puissance de $2$ et $k\in\N^{*}$. On a
   $$n = (m-k)+(m-k+1)+\cdots+(m-1)+m+(m+1)+\cdots+(m+k-1)+(m+k)$$donc on a écrit $n$ comme somme d’entiers relatifs consécutifs. Il se peut que certains termes de cette écriture soient des entiers négatifs, mais ils sont tous compensés par leur opposé, qui apparaît nécessairement dans la somme, puisque $n$ est positif !
   Reste à voir pourquoi il y a là au moins deux entiers strictement positifs consécutifs. Mais $m\geqslant 1$ comme puissance de $2$, et $k\geqslant 1$ par hypothèse, donc $m+k-1\geqslant 1$. Donc on a bien écrit les entiers de cette forme comme somme d’au moins $2$ entiers consécutifs.

2. Dans ce second cas, on suppose $k=0$, donc on considère les entiers qui s’écrivent sous la forme $n=2^{j}$ avec $j\in\N$. Nous allons montrer qu’il n’est pas possible d’écrire $n$ sous la forme demandée, en procédant par l’absurde.
   Supposons qu’il existe deux entiers $a$ et $b$ tels que $0<a<b<n$, vérifiant $n=a+(a+1)+\cdots +b$. Notons qu’on a pris $a<b$ pour avoir au moins deux entiers consécutifs, et $b<n$ car si $b=n$, on ne peut pas ajouter un deuxième entier positif pour sommer à $n$. Bref,
   $$n=\left(\sum_{k=0}^{b}k\right)-\left(\sum_{k=0}^{a-1}k\right)=\frac{b(b+1)}{2}-\frac{a(a-1)}{2}$$ donc $2^{j+1}=2n=b(b+1)-a(a-1)=b^{2}+b-a^{2}+a=(b-a)(b+a)+b+a=(b+a)(b-a+1)$.
   Comme $j+1\in\N^{*}$, $b+a$ et $b-a+1$ sont deux puissances de $2$, avec $b+a\neq 1$ car $0<a<b$, et $b-a+1\neq 1$ car $b\neq a$. Ainsi, $b+a - (b-a+1)$ est pair comme différence de deux puissances de $2$ différentes de $1$. Or $b+a-(b-a+1)=2a-1$ est impair. D’où la contradiction.

Finalement, les seuls entiers qui ne s’écrivent pas sous la forme demandée sont les puissances de $2$