Entiers comme sommes consécutives

Suivant la suggestion de Phil Caldero, on va amplifier ainsi l’énoncé :

Etant donné un entier positif $N$, de combien de façons peut-on l’écrire comme somme d’au moins deux entiers positifs successifs ?

1. Préliminaire
   Suivant l’astuce du petit Gauss, $N$ est somme de $k$ entiers positifs successifs à partir de $n$ ssi

$$2N=k(2n+k-1)$$

Soit $f : \N^*\times \N^* \rightarrow \N^*$, $f(n,k)=k(2n+k-1)$. On veut donc expliciter les antécédents $(n,k),k>1$ de $2N$ par $f$.
En notant que $k$ et $2n+k-1$ n’ont pas même parité, on a déjà que quand $N$ est une puissance de 2, $2N$ n’a pas de diviseur impair >1, donc pas d’antécédents par $f$. Dans ce qui suit on suppose que $N$ n’est pas une puissance de 2, ou autrement dit, a un diviseur impair >1.

2. Analyse
   Supposons donc qu’on a $n>0,k>1$ tels que $f(n,k)=2N$. On a $2N/k-k=2n-1>0$ car $n>0$. On a $k$ et $2N/k$ de parité différentes. On a $n=(2N/k-k+1)/2$. Donc

   $\quad k$ est le plus petit de deux entiers de parité différente et de produit $2N$, et $n=(2N/k-k+1)/2$.

3. Synthèse
   On considère une écriture quelconque $2N=p.i$ avec $p$ pair, $i$>1 impair et on définit $k=\min(p,i)$.

• Que k vale $p$ ou $i$, il est bien >1.
• Soit $n=(2N/k-k+1)/2$ ; le numérateur est pair donc $n$ est entier et $2N/k>k$ donc $n>0$.
• $f(n,k)=k(2n+k-1)=k.2N/k=2N$.

4. Conclusion : il y a autant d’écritures en somme d’au moins 2 entiers positifs successifs que d’écritures $2N=p.i$ avec $p$ pair, $i$ impair.

• Leur nombre est le nombre de diviseurs impairs>1 de $2N$, cad de $N$.
• le nombre d’entiers successifs est $k=\min(p,i)$.
• le premier des entiers successifs est $n=(2N/k-k+1)/2$.

4. Exemple : $N=15$ ; les diviseurs impairs $i>1$ de $2N=30$ sont 3, 5, 15.

• $i=3$ donne $k=3,n=(10-2)/2=4 : 15=4+5+6$
• $i=5$ donne $k=5,n=(6-4)/2=1:15=1+2+3+4+5$
• $i=15$ donne $k=2,n=(15-1)/2=7:15=7+8$