Équation fonctionnelle polynomiale

soit P un polynome non constant solution. soit $a$ racine de $P$ de module maximal. comme P est non constant, en particulier il n’est pas le polynome nul, on en déduit que $a$ est different de $0$, donc inversible (c’est à dire qu’on peut diviser par $a$). on vérifie que $(X-1)^{2}+(X-1)+1=X^2-X+1$ de sorte que l’équation fonctionnelle donne alors : $a^{2}+a+1$ et $a^{2}-a+1$ sont deux racines de $P$ chacune de module inférieur ou égal à module de $a$. On pose alors $u:=a+1/a$. les deux inégalités précédentes donnent alors (comme $a$ est inversibl), $|u-1|\le 1$ et $|u+1|\le 1$ et donc $u$ est dans l’intersection des deux disques du plan complexe de centres respectifs les affixes 1 et -1 et de rayon 1, donc $u=0$ c’est-à-dire $a=i$ ou $a=-i$ ainsi si un tel P existe (non contant) il possède i ou -i comme solution mais alors, comme P est un polynome réel, i et -i sont nécessairement solutions de même multiplicité et donc il existe un entier natutel non nul $n$ et un polynôme réel $Q$ tel que $P=(X^{2}+1)^n.Q$ et i (donc aussi -i) non racine de Q. On vérifie que Q satisfait l’équation fonctionnelle. Si Q est non contant alors d’apres ce qui précède i ou -i est racine de Q, ce qui est exclu. Donc Q est un polynome constant, qui par ailleurs est non nul pusiqu’on a suppose P non constant. Donc P est de la forme $P=c(X^2+1)^n$ avec c nombre complexe non nul et $n$ entier naturel non nul. en injectant dans l’équation fonctionnelle on obtient $c=1$. conclusion partielle : si P est solution non constante alors $P$ est de la forme $(X^{2}+1)^{n}$ où $n$ est entier naturel non nul. il ne reste plus qu’à rechercher les solutions constantes ainsi que celle de la forme ci-dessus... détails à compléter ALTERNATIVE (dans le cas P non constant une fois qu’on a obtenu i ou -i sont racines de module maximal et toute racine de module maximal est i ou -i) on montre que P(1) est nécessairement non nul car dans le cas contraire il y aurait une infinité de zéros, donnés par les termes de la suite définie par récurrence par$u_{0}=1, u_{n+1}=u_{n}^{2}+u_{n}+1$ qui contient une infinité de termes. en injectant alors 0 dans l’équation fonctionnelle on en déduit que $P(0)=1$ donc le produit des racines de $P$ est de module 1 (après avoir obtenu que $P$ est unitaire) et comme toures les racines sont de module inférieur ou égal à 1, elles sont alors toutes de module 1 et donc égales à i ou -i etc... Détails à compléter