Espaces vectoriel normés quotient et semi-normes

Soit $(E,\lVert.\rVert)$ un espace vectoriel. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.

$(\mathbf{1})$ Montrer que l’application $d(\,.\,,F) : E \longrightarrow \mathbb{R}$ (la distance à $F$) passe au quotient modulo $F$ (i.e. $\forall x \forall y$, $x-y \in F \Rightarrow d(x,F) = d(y,F)$). On note $\overline{N}$ l’application quotient de $d(\,.\,,F)$ sur $E/F$.
$(\mathbf{2})$ Montrer que $\overline{N}$ est une norme si et seulement si $F$ est fermé.
$(\mathbf{3})$ On suppose que $F$ est fermé, et que $E$ est un espace de Banach. Montrer que l’espace normé $(E/F,\overline{N})$ est un espace de Banach.

On appelle $\textbf{semi-norme}$ sur $E$ toute application $N : E \longrightarrow \mathbb{R}$ qui satisfait tous les axiomes d’une norme, sauf peut-être l’axiome "$(\forall x)(N(x) = 0 \Rightarrow x = 0)$". On appelle $\textbf{espace semi-normé}$ tout espace vectoriel $E$ munit d’une semi-norme $N$.

$(\mathbf{4})$ Montrer que l’application $\overline{N}$ de la question $(\mathbf{1})$ est une semi-norme sur $E/F$.
$(\mathbf{5})$ Soit $(X,N)$ un espace semi-normé. Soit $K(N) = \lbrace x \in X \mid N(x) = 0\rbrace$. Montrer que $K(N)$ est un sous-espace vectoriel de $X$.
$(\mathbf{6})$ Montrer que l’application $N$ passe au quotient modulo $K(N)$. On note $N'$ l’application quotient de $N$ sur $E/K(N)$. Montrer que $N'$ est une norme sur $E/K(N)$.

Remarque :

Les trois derniers points de cet exercice répondent à la question qui émerge naturellement après le point $\mathbf{(2)}$ : "que faire si $F$ n’est pas fermé dans $E$ ?".