Exemples de normes

Montrer que les applications suivantes définissent une norme sur l’espace vectoriel de définition.

$(\mathbf{1})$ $\lVert . \rVert_{1} : \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}$, $(x_{1},\,...\,,\,x_{n}) \mapsto \sum_{i = 1}^{n}\lvert x_{i} \rvert$.
$(\mathbf{2})$ $\lVert . \rVert_{\infty} : \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}$, $(x_{1},\,...\,,\,x_{n}) \mapsto \underset{1 \leq i \leq n}{\mathrm{max}}(\lvert x_{i} \rvert)$.
$\mathbf{(3)}$ Soit $(E,\lVert.\rVert)$ un espace vectoriel normé, et $F$ un espace vectoriel. Soit $\phi : E \longrightarrow F$ un isomorphisme linéaire. Montrer que l’application $\phi \circ \lVert. \rVert \circ \phi^{-1} : F \longrightarrow \mathbb{R}$ est une norme sur $F$. On l’appelle la $\textbf{norme transportée}$ de $\lVert. \rVert$ sur $F$ par $\phi$.
$(\mathbf{4})$ Soit $(E_{i},\lVert.\rVert_{i})_{1 \leq i \leq n}$ une famille finie d’espaces vectoriels normés. Montrer que les applications $N_{1} : \prod_{i}E_{i} \longrightarrow \mathbb{R}$, $(x_{1},\,...\,,\,x_{n}) \mapsto \sum_{i=1}^{n}\lvert x_{i} \rvert$ et $N_{\infty} : \prod_{i} E_{i} \longrightarrow \mathbb{R}$, $(x_{1},\,...\,,\,x_{n}) \mapsto \underset{1 \leq i \leq n}{\mathrm{max}}(\lvert x_{i \rvert})$ sont des normes. On dit alors que les $\textbf{produits finis}$ d’espaces normés sont normés.
$(\mathbf{5})$ $\lVert. \rVert : \mathcal{C}([0,1]) \longrightarrow \mathbb{R}$, $f \mapsto \sqrt{\int_{0}^{1}f(t)^{2}dt}$.