Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/TopologyExerciseReviewed

Exemples simples d’espaces topologiques

by Nolan_2o·
26
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
·
Français
FrançaisAdd translation

Showing the Français version because no English translation exists yet. Add that translation.

Déterminer si les espaces (X,τ)(X,\tau) suivants sont des espaces topologiques:

  1. X=RX=\mathbb R muni de τ={R,∅}\tau = \{\mathbb R, \emptyset\}.
  2. X={0,1}X =\{0,1\} muni de τ={∅,{0},{0,1}}\tau = \{\emptyset,\{0\},\{0,1\}\}.
  3. X=RX=\mathbb R muni de τ={R}\tau = \{\mathbb R\}.
  4. X={a,b,c}X=\{a,b,c\} muni de τ={∅,{a},{a,b},X}\tau=\{\emptyset,\{a\},\{a,b\},X\}.
  5. X={0,1,2}X=\{0,1,2\} muni de τ={∅,{0,1},{1,2},X}\tau=\{\emptyset,\{0,1\},\{1,2\},X\}.
I solved itMark it doneAdd to my listKeep it in your list
I like this problem1 like

Liked by

Solutions

1
Reveal solutionsAre you sure? Give it a try first.

Solution by darktoaster

Discussions0 useful votes

1)\textbf{1)} Vrai
\newline
On appelle d’ailleurs τ={X,∅}\tau = \{X, \emptyset \} la topologie grossière associée à XX.
\newline
On vérifie tout d’abord que ∅∈τ\emptyset \in \tau et X∈τX \in \tau
\newline
Soit {Oi}i∈I\{O_{i}\}_{i\in I} une famille d’éléments de τ\tau indexée par II, ⋃i∈IOi∈τ\bigcup_{i \in I} O_{i} \in \tau
En effet, si un des OiO_{i} est R\mathbb{R} alors l’union est R\mathbb{R} , sinon si aucun des OiO_{i} est R\mathbb{R} , l’union est l’ensemble vide. Dans les deux cas, l’union est dans τ\tau.

Soit {Oi}i∈[ ⁣[1,n] ⁣]\{O_{i}\}_{i\in [\![1,n]\!]} une famille finie d’éléments de τ\tau, ⋂i=1nOi∈τ\bigcap_{i = 1}^{n} O_{i} \in \tau
En effet, si un des OiO_{i} est ∅\emptyset alors l’intersection est ∅\emptyset , sinon si aucun des OiO_{i} est ∅\emptyset , l’intersection est R\mathbb{R}. Dans les deux cas, l’intersection est dans τ\tau.
\newline
2)\textbf{2)} Vrai
\newline
On vérifie tout d’abord que ∅∈τ\emptyset \in \tau et X={0,1}∈τX = \{0,1\} \in \tau
\newline
Soit {Oi}i∈I\{O_{i}\}_{i\in I} une famille d’éléments de τ\tau indexée par II, ⋃i∈IOi∈τ\bigcup_{i \in I} O_{i} \in \tau
En effet, si un des OiO_{i} est X={0,1}X = \{0,1\} alors l’union est {0,1}\{0,1\}, sinon si un des OiO_{i} est {0}\{0\} alors l’union est {0}\{0\} , sinon l’union est l’ensemble vide. Dans les trois cas, l’union est dans τ\tau.

Soit {Oi}i∈[ ⁣[1,n] ⁣]\{O_{i}\}_{i\in [\![1,n]\!]} une famille finie d’éléments de τ\tau, ⋂i=1nOi∈τ\bigcap_{i = 1}^{n} O_{i} \in \tau
En effet, si un des OiO_{i} est ∅\emptyset alors l’intersection est ∅\emptyset, sinon si un des OiO_{i} est {0}\{0\} alors l’intersection est {0}\{0\} , sinon l’intersection est X={0,1}X = \{0,1\}. Dans les trois cas, l’intersection est dans τ\tau.
\newline
3)\textbf{3)} Faux
\newline
∅∉τ\emptyset \notin \tau
\newline
4)\textbf{4)} Vrai
\newline
On vérifie tout d’abord que ∅∈τ\emptyset \in \tau et X={a,b,c}∈τX = \{a,b,c\} \in \tau
\newline
Soit {Oi}i∈I\{O_{i}\}_{i\in I} une famille d’éléments de τ\tau indexée par II, ⋃i∈IOi∈τ\bigcup_{i \in I} O_{i} \in \tau
En effet, si un des OiO_{i} est X={a,b,c}X = \{a,b,c\} alors l’union est {a,b,c}\{a,b,c\}, sinon si un des OiO_{i} est {a,b}\{a,b\} alors l’union est {a,b}\{a,b\} , sinon si un des OiO_{i} est {a}\{a\} alors l’union est {a}\{a\} , sinon l’union est l’ensemble vide. Dans les quatre cas, l’union est dans τ\tau.

Soit {Oi}i∈[ ⁣[1,n] ⁣]\{O_{i}\}_{i\in [\![1,n]\!]} une famille finie d’éléments de τ\tau, ⋂i=1nOi∈τ\bigcap_{i = 1}^{n} O_{i} \in \tau
En effet, si un des OiO_{i} est ∅\emptyset alors l’intersection est ∅\emptyset, sinon si un des OiO_{i} est {a}\{a\} alors l’intersection est {a}\{a\} , sinon si un des OiO_{i} est {a,b}\{a,b \} alors l’intersection est {a,b}\{a,b \}, sinon l’intersection est X={a,b,c}X = \{a,b,c\}. Dans les quatre cas, l’intersection est dans τ\tau.
\newline
5)\textbf{5)} Faux
\newline
τ\tau n’est pas stable par intersection finie : {0,1}∩{1,2}={1}∉τ\{0,1\} \cap \{1,2\} = \{1\} \notin \tau

Report

For an unclear, ambiguous, or possibly incorrect statement, please use the Discussion tab on the right. Report content that needs moderator intervention, such as dangerous, clearly non-mathematical, or plagiarized content.