Groupe d’unités de ℤ/nℤ

Soit $n\geqslant2$ un entier et $\mathbb{Z}_{n}:=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ l’ensemble de toutes les classes d’entiers modulo $n$.

a. Montrer que pour tout $a \in (\mathbb{Z}_n^*, \cdot)$, où $\Z_n^*:=\Z_{n}\backslash\{0\}$, tel que $\gcd(a,n) = 1$, $a$ a un inverse.

b. Montrer que pour tout $a \in (\mathbb{Z}_n^*, \cdot)$ tel que $\gcd(a,n) \neq 1$, $a$ n’a pas d’inverse.

c. On pose

$$\mathbb{G} = \{a \in \mathbb{Z}_n^* \mid \gcd(a,n) = 1\}$$

Montrer que $(\mathbb{G}, \cdot)$ est un groupe, et qu’il s’agit du plus grand groupe contenu dans $\mathbb{Z}_n^*$.

d. En déduire et expliciter le plus grand groupe contenu dans $(\mathbb{Z}_{12}^*, \cdot)$. Donner l'ordre et l’inverse de chaque élément, et le cardinal du groupe. Ce groupe est-il cyclique ?