Idéal sans générateur

$\textbf{1.}$ $I_c$ est un idéal. Soit $I$ un idéal de $A$ contenant $I_c$. Si $I=I_c$, sinon on cherche une fonction dans $I$ qui ne n’annule jamais.
Soit $f\in I\setminus I_c$ et $g\in I_c$ (sur un graphique on prend une fonction en forme de V avec la pointe en $c$, $g(c)=0$. Alors $g+f^2\in I$ par propriété d’idéal et $g+f^2$ ne s’annule jamais. On note $\phi=g+f^2$.
Soit $h\in A$ alors $h=\underset{\in I}{\underbrace{h\phi}}\underset{\in A}{\underbrace{\frac{1}{\phi}}} \in I$ donc $A=I$.

$\textbf{2.}$ On procède par l’absurde.
On suppose qu’il existe $f\in A$ tq $I_c=fA$. Alors $f\in I_c$ et ne s’annule qu’en $c$. En effet, soit $x\neq c$ un autre point d’annulation. On reprend la fonction $g$ définie comme un V de pointe $c$ tq $g(c)=0$, alors on peut l’écrire $fh$ et donc $g(x)=0$ ABSURDE !
On considère $\sqrt{|f|}$. Par hypothèse on peut l’écrire $fg$ avec $g\in A$, alors $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{|f|}}=g$, vrai pour tout $x\neq c$ et on fait $x\rightarrow c$ alors $g(x)\rightarrow +\infty$ ce qui contredit la continuité de $g$.

$\textbf{3.}$ On procède encore par l’absurde.
On suppose qu’il existe $f_1,...,f_m$ tq $f_1A+...f_mA=I_c$. De même les $f_i$ s’annule en $c$ et par un argument similaire les $f_i$ n’admettent pas d’une autre racine commune. Ainsi $f_1^2+...+f_m^2 \in I_c$ et ne s’annule qu’en $c$. Il existe $g_1,...,g_m\in A$ tq $\sqrt[3]{f_1^2+...+f_m^2} = f_1g_1 +...+ f_mg_m$.
On rappelle que pour tout $a,b$ réels $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$. Ainsi
$$f_1^2+...f_m^2 = \left(f_1g_1+...+f_mg_m\right)^3 = \sum_{i,j,k}f_if_jf_kg_ig_jg_k$$donc
$1=\frac{1}{f_1^2+...+f_m^2}\sum_{i,j,k} f_if_jf_kg_ig_jg_k\leq \sum_{i,j,k} \frac{f_if_jf_k}{f_1^2+...+f_m^2}g_ig_jg_k\leq \sum_{i,j,k} |f_i| \frac{f_j^2+f_k^2}{2\left(f_1^2+...+f_m^2\right)}|g_ig_kg_l|\leq \sum_{i,j,k} \frac{1}{2}|f_ig_ig_jg_k|$
Ce qui est absurde pour $x$ assez proche de $c$.

1. Soit $J$ un idéal de $A$ contenant strictement $I_{c}$. Ainsi il existe $f\in J-I_{c}$ ie $f$ dans $A$ qui ne s’annule pas en $c$. Alors la fonction $g$ définie sur $[0;1]$ par $\forall x, g(x)=f(x)+(x-c)^{2}$ ne s’annule nulle part et appartient à $J+I_{c}\subset J$. Mais alors $1/g$ est bien définie sur $[0;1]$ et continue donc appartient $A$ et donc la fonction $g.1/g \in J$ (car $J$ est un idéal). Ainsi $J$ est un idéal de $A$ qui contient l’élément unité, donc $J=A$. Conclusion : $I_{c}$ est un idéal maximal.
2. supposons que $I_{c}=fA$. En considérant la fonction $(x-c)1_{[0;1]}\in I_{c}$, on remarque que $c$ est le seul zéro de $f$. On a$\sqrt|f|\in I_{c}$ d’où il existe $g\in A$ tel que $\sqrt|f|=fg$ d’où $\forall x$ différent de $c$, $\frac{1}{|f|(x)}=g^2(x)$ ce qui par pasage à la limite lorsque $x$ tend vers $c$ on obtient une contradiction. Conclusion $I_{c}$ n’est pas principal
3. supposons que $I_{c}=\sum_{i=1}^{m}f_{i}A$ (1) $\forall i, f_{i}\in f_{i}A \subset I_{c}$ d’où $f_{i}(c)=0$ et donc la fonction $S=(\sum_{i=1}^{m} |f_{i}|)^{1/2}$ est dans $I_{c}$. Si $S$ s’annule en $d$ alors $\forall i, f_{i}(d)=0$ et en considérant la fonction $(x-c)1_{[0;1]}\in I_{c}$, on a d’après (1), $d-c=0$ d’où $d=c$. Ainsi $c$ est le seul zéro de $S$.
   D’après (1), $S$ s’écrit $S=\sum_{i=1}^{m} f_{i}g_{i}$
   Soit $M:=sup_{i=1} ||g_{i}||_{\infty}$, alors $\forall x, 0\le S(x)\le MS^{2}(x)$ et donc pour tout $x$ distinct de $c$ on a $0\le 1/S(x)\le M$ et un passage à la limite lorsque $x$ tend vers $c$ donne une contradiction. Conclusion $I_{c}$ ne s’écrit pas comme dans (1) ($I_{c}$ n’est pas de type fini)

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