Identité cubique

Rien de plus que darktoaster, sauf que j’avais posé $x=a+b$ avec $a,b=\sqrt[3]{\varepsilon\pm\frac{2}{3} \sqrt{\frac{7}{3}}}$ , si bien que $ab=-1/3$ (les racines cubiques poussent au cube, mais le $\pm$ pousse au produit des conjugués).
Alors $x^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)=2\varepsilon-x$, $x^3+x-2\varepsilon=0,$ $\varepsilon$ est solution, on factorise par $x-\varepsilon$, $(x-\varepsilon)(x^2+\varepsilon x+2)=0$ et le trinôme ayant un $\Delta<0$, $x=\varepsilon$.

rem : La bonne idée de monotonie évite la factorisation.
rem : poser $x=a+b$ est un point de départ pour trouver les formules de Cardan.