Intégrabilité et limite

1. Soit $g$ définie sur $\R^{+}$ positive de classe $C^{1}$, à support compact et d’intégrale sur $\R^{+}$ strictement positive définie sur $\R$ par$g(x):=x^{2}(1-x)^{2}1_{[0;1]}(x)$)
   Soit $f$ définie par $\forall x\in \R^{+},f(x):=\sum_{n=2}^{+\infty} ng(2^{n}(x-n))$

En considérant le support de $f$, on remarque que pour tout $x\in \R^{+}$, il existe un voisinage de $x$ tels que tous les termes de la série qui définissent $f$ sont nuls sauf un au plus, ce qui assure que $f$ est bien définie et que $f$ est de classe $C^{1}$. On a par convergence monotone, $\int_{\R^{+}}f=\sum_{n=2}^{+\infty}n\int_{\R^{+}} g(2^{n}(x-n))dx=(\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n}{2^{n}})\int_{\R^{+}}g<+\infty$ et donc $f$ est intégrable.

$\forall n\ge 3, f(n+2^{-n-1})=ng(1/2)=n/16$ et donc $g$ ne tend vers $0$ à l’infini. Ainsi $f$ répond à la question.

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3. On pose$M^{2}:=\sup_{\R^{+}} \int_{x}^{x+1} f'^{2}(t)dt$

$\forall \delta \in ]0;1[, \forall x>0, \forall t \in [x;x+\delta]$ on a (Théorème fondamental de l’analyse, puis inégalité de Cauchy-Schwarz)$|f(x)-f(t)|=|\int_{t}^{x} f'(u)du|\le M(t-x)^{1/2}$

d’où
$|\int_{x}^{x+\delta} (f(x)-f(t))dt|\le \int_{x}^{x+\delta} M(t-x)^{1/2}dt=2/3M\delta^{3/2}$

puis (inégalité triangulaire) en notant $R(x,\delta):=|\int_{x}^{x+\delta}f(t)dt$|

$|f(x)|\le \frac{R(x,\delta)}{\delta}+2/3M\delta^{1/2}$

Soit $\epsilon \in ]0;1[$. D’après le critère de Cauchy, il existe $x_{0}>0$ tel que $\forall \delta\in ]0;1[, \forall x>x_{0}, R(x,\delta)<\epsilon$. Ainsi, $\forall x>x_{0}, \forall \delta \in ]0;1[, |f(x)|\le \epsilon/\delta +2/3M\delta^{1/2}$. En choisissant $\delta=\epsilon^{2/3}$, qui est bien strictement inférieur à 1, on a ainsi $\forall x>x_{0}, |f(x)|\le (1+2/3M)\epsilon^{1/3}$ et donc $f$ tend donc vers 0 en $+\infty$.