Ivan Shishkin, Rye (1878)

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Intégrale de Dirichlet

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Solution

Solution by Baptiste · FR

Faisons un peu d’analyse complexe.
Pour r>0r>0 on définit le chemin γr\gamma_{r} paramétré par γr(t)=reit\gamma_{r}(t)=re^{it} pour t∈[−π/2,π/2]t\in [-\pi/2, \pi/2]

Lemme: Pour ff une fonction continue sur C\mathbb{C} on a
lim⁡r→0∫γrf(z)zdz=iπf(0)\underset{r\to 0}{\lim}\int_{\gamma_{r}}\frac{f(z)}{z}dz=i\pi f(0)En effet par définition,
∫γrf(z)zdz=∫−π2π/2f(reit)reitireitdt=i∫−π2π/2f(reit)dt\int_{\gamma_{r}}\frac{f(z)}{z}dz=\int_{-\pi2}^{\pi/2}\frac{f(re^{it})}{re^{it}}ire^{it}dt=i\int_{-\pi2}^{\pi/2}f(re^{it})dt

donc en passant à la limite grâce au théorème de convergence dominée on a le résultat.

Soient maintenant 0<r<R0<r<R.
On définit γ\gamma par γ=γR⊔[iR,ir]⊔(−γr)⊔[−ir,−iR]\gamma=\gamma_{R}\sqcup[iR, ir]\sqcup (-\gamma_{r})\sqcup[-ir, -iR] où [a,b][a,b] désigne le segment joignant aa à bb et (−γr)(-\gamma_{r}) le chemin γr\gamma_{r} parcouru en sens inverse.
Puisque f:z↦e−zz\displaystyle f:z\mapsto \frac{e^{-z}}{z} est holomorphe sur le domaine intérieur à γ\gamma on a
∫γe−zzdz=0\int_{\gamma}\frac{e^{-z}}{z}dz=0

Or
∫γe−zzdz=∫γRe−zzdz+∫[iR,ir]e−zzdz+∫[−ir,−iR]e−zzdz−∫γre−zzdz=∫γRe−zzdz+∫Rre−ititidt+∫−r−Re−ititidt−∫γre−zzdz=∫γRe−zzdz+2i∫rRsin⁡(t)tdt−∫γre−zzdz\begin{align*}\int_{\gamma}\frac{e^{-z}}{z}dz&=\int_{\gamma_{R}}\frac{e^{-z}}{z}dz+\int_{[iR, ir]}\frac{e^{-z}}{z}dz+\int_{[-ir, -iR]}\frac{e^{-z}}{z}dz-\int_{\gamma_{r}}\frac{e^{-z}}{z}dz\\ &=\int_{\gamma_{R}}\frac{e^{-z}}{z}dz+\int_{R}^{r}\frac{e^{-it}}{it}idt+\int_{-r}^{-R}\frac{e^{-it}}{it}idt-\int_{\gamma_{r}}\frac{e^{-z}}{z}dz\\ &=\int_{\gamma_{R}}\frac{e^{-z}}{z}dz+2i\int_{r}^{R}\frac{\sin(t)}{t}dt-\int_{\gamma_{r}}\frac{e^{-z}}{z}dz \end{align*}

Ainsi d’après le lemme, puisque z↦e−zz\mapsto e^{-z} est continue et que t↦sin⁡(t)t\displaystyle t\mapsto \frac{\sin(t)}{t} est prolongeable par continuité en 00, on a en passant à la limite quand r→0r\to 0
∫γRe−zzdz+2i∫0Rsin⁡(t)tdt=iπ(1)\int_{\gamma_{R}}\frac{e^{-z}}{z}dz+2i\int_{0}^{R}\frac{\sin(t)}{t}dt=i\pi \qquad (1)

Pour finir il nous reste à remarquer que
lim⁡R→0∫γRe−zzdz=0(2)\underset{R\to 0}{\lim}\int_{\gamma_{R}}\frac{e^{-z}}{z}dz=0 \qquad (2)En effet,
∣∫γRe−zzdz∣=∣∫−π/2π/2e−Reitdt∣≤∫−π/2π/2e−Rcos⁡(t)dt\left|\int_{\gamma_{R}}\frac{e^{-z}}{z}dz\right|=\left|\int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{-Re^{it}}dt \right|\le \int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{-R\cos(t)}dtet pour 0<ε<π/40<\varepsilon <\pi/4 fixé,
∫−π/2π/2e−Rcos⁡(t)dt=∫−π/2−π/2+εe−Rcos⁡(t)dt+∫−π/2+επ/2−εe−Rcos⁡(t)dt+∫−π/2−επ/2e−Rcos⁡(t)dt≤2ε+(π−2ε)e−Rcos⁡(π/2−ε)\int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{-R\cos(t)}dt=\int_{-\pi/2}^{-\pi/2+\varepsilon}e^{-R\cos(t)}dt+\int_{-\pi/2+\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon}e^{-R\cos(t)}dt+\int_{-\pi/2-\varepsilon}^{\pi/2}e^{-R\cos(t)}dt\le 2\varepsilon+(\pi-2\varepsilon )e^{-R\cos(\pi/2-\varepsilon)}

mais (π−2ε)e−Rcos⁡(π/2−ε)=(π−2ε)e−Rsin⁡(ε)⟶R→+∞0(\pi-2\varepsilon )e^{-R\cos(\pi/2-\varepsilon)}=(\pi-2\varepsilon )e^{-R\sin(\varepsilon)}\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0

donc il existe R0>0R_{0}>0 tel que ∀R>R0,(π−2ε)e−Rcos⁡(π/2−ε)≤ε\forall R>R_{0}, (\pi-2\varepsilon )e^{-R\cos(\pi/2-\varepsilon)}\le \varepsilon
Ainsi pour tout R>R0R>R_{0},
∣∫γRe−zzdz∣≤3ε\left|\int_{\gamma_{R}}\frac{e^{-z}}{z}dz\right|\le 3\varepsilonce qui prouve (2)(2).

Pour conclure on passe à la limite quand R→+∞R\to +\infty dans (1)(1) ce qui nous donne
∫0+∞sin⁡(t)tdt=π2\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t}dt=\frac{\pi}{2}

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