Irrégularité des bases algébriques dans un espace de Banach

Voici une solution pour le premier point. $\\ \\$ Supposons par l’absurde qu’une infinité des $(x^{*})_{x \in \mathcal{B}}$ sont continues. Soit$(x_{n})_{n}$ une suite injective d’éléments de $\mathcal{B}$, telle que pour tout $n$, $x_{n}^{*}$ est continue. On pose $K = \bigcap_{n} \mathrm{ker}(x_{n}^{*})$. Il est clair que K est fermé, et comme les $x_{n}^{*}$ sont libres, la codimension de $K$ vaut $\aleph_{0}$. Ainsi, me quotient $X/K$ est un espace de Banach de dimension $\aleph_{0}$, ce qui esr absurde.