Jeu de piste 1 (ou la force de l’exacte commutation)

Dans le diagramme ci dessous :

• Les $X_{i}$ et les $Y_{i}\ _{,i=1,2,3,4}$ sont des groupes (0 désignera le neutre du groupe sous-entendu).
• Les suites sont exactes : pour $i=1,2,3 : \Im g_i=\ker g_{i+1}$ et $\Im h_i=\ker h_{i+1}$.
• Les carrés commutent : pour $i=1,2,3,4 : h_i\circ f_i=f_{i+1}\circ g_i$.
• $h_{3}(0)=f_{4}(0)=0$

Montrer que quand $f_1$ est surjective et que $f_2,f_4$ sont injectives, alors $f_{3}$ est injective.

NB1 : remarquer que les $f_{i},g_{i},h_{i}$ ne sont pas des morphismes de groupe, l’exacte commutation suffit.
NB2 : le problème à venir "jeu de piste 2" permettra d’achever la preuve du lemme des cinq, non fournie à ce jour dans la page wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_des_cinq.