La limite d’une intégrale

Notation : soit $F$ la fonction definie sur $I:=[1;+\infty[$ par $F(x):=1/x \int_{1}^{x} x^{1/t}dt$ on effectue le changement de variable $u:=ln(x)/t$ qui donne alors $\forall x\in I, xF(x)/\ln(x)=\int_{\ln(x)/x}^{\ln(x)}e^{u}/u^2 du$
la fonction $u$ donne $h(u):=exp(u)/u^{2}$ est positive sur $]0;+\infty[$ et les intégrales $\int_{0}^{1} h(u)du$ et $\int_{1}^{{+\infty}}h(u)du$ divergent. On a $h(u)\sim_{0} 1/u^2$ et $h(u)\sim_{+\infty} h'(u)$ et donc par théorèmes d’intégration d’équivalents on a $A(x):=\int_{x}^{1} h(u)du \sim_0 1/x$ et $B(x):=\int_{1}^{x}h(u)du\sim_{+\infty}h(x)$
On a $xF(x)/ln(x)=A(ln(x)/x)+B(ln(x))$
Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, $ln(x)/x$ tend vers $0$ et $ln(x)$ tend vers $+\infty$ et donc lorsque $x$ tend vers $+\infty$, $A(ln(x)/x) \sim x/ln(x)$ et $B(ln(x)) \sim h(ln(x))=x/ln^{2}(x)=o(A(ln(x)/x)$ d’où $xF(x)/ln(x) \sim A(ln(x)/x) \sim x/ln(x)$ et donc $F(x)\sim 1$ c’est-à-dire que $F$ tend vers$1$ en $+\infty$.